Άθροισμα κύβων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9440
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άθροισμα κύβων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 11, 2020 7:03 pm

Αν a,b,c είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα a να παραγοντοποιηθεί η παράσταση a^3+b^3+c^3.

Για ένα 24ωρο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 770
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Άθροισμα κύβων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 11, 2020 7:52 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 7:03 pm
Αν a,b,c είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα a να παραγοντοποιηθεί η παράσταση a^3+b^3+c^3.

Για ένα 24ωρο.
Καλησπέρα!
\rm a^3+b^3+c^3=a^3+b(a^2-c^2)+c(a^2-b^2)=a^2(a+b)-bc^2+c(a-b)(a+b)=
\rm =a^2(a+b)-b(a-b)(a+b)+c(a-b)(a+b)=(a+b)(a^2+ac-bc-ab+b^2)=
\rm =(a+b)(a^2-c^2+a^2+ac-bc-ab)=(a+b)((a-c)(a+c)+a(a+c)-b(a+c))=
\rm=(a+b)(a+c)(a-c+a-b)=(a+b)(a+c)(2a-b-c)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα κύβων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 11, 2020 10:32 pm

Ωραία λύση. Δίνω μία διαφορετική μόνο και μόνο για να επισημάνω μία ιδιότητα των ορθογωνίων τριγώνων που συχνά την ξεχνάμε (*).

Μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε c=2tm,\, b=t^2- m^2,\, a=t^2+m^2 για κάποια t>m>0. Για την απόδειξη παίρνουμε τις τιμές που μας καθοδηγούν οι δύο τελευταίες, δηλαδή 2t^2=a+b, \, 2m^2=a-b και ελέγχουμε ότι ισχύει και η c=2tm.

To πλεονέκτημα είναι ότι τα t,m είναι "ελεύθερα", χωρίς συνθήκες που τα δένουν, οπότε δεν χρειάζονται τεχνάσματα στον δρόμο. Εδώ

\displaystyle{a^3+b^3+c^3= (t^2+m^2)^3+ (t^2- m^2)^3 +(2tm)^3}

το οποίο μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε εύκολα αφού ως πολυώνυμο του t δεν έχει σταθερό όρο και μηδενίζεται για t=-m (το βλέπουμε αυτό πριν ανοίξουμε τις παρενθέσεις).

Θα βρούμε ότι ισούται

\displaystyle{2t^2(3m^2-2tm+t^2)(m+t)^2}

Βάζοντας πίσω τις τιμές των a,b, c (για παράδειγμα ο όρος (m+t)^2=m^2+t^2+2tm=a+c) θα βρούμε

\displaystyle{(a+b)(a+c)(2a-b-c)}, όπως στην λύση του Πρόδρομου

(*) Σχολιάζω ότι τις παραστάσεις που έγραψα τις συναντάμε όταν δουλεύουμε με ακέραια μεγέθη, αλλά ισχύουν γενικότερα. Στα ακέραια a,b,c απλά τα t,m είναι και αυτά ακέραια, ως γνωστόν από την Θεωρία Αριθμών.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9440
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα κύβων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 15, 2020 1:22 pm

Αλλιώς, αξιοποιώντας την ταυτότητα \boxed{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2}-ab-bc-ac)}

\displaystyle {a^3} + {b^3} + {c^3} = (a + b + c)(2{a^2} - ab - bc - ac) + 3abc

\displaystyle  = (a + b + c)a(2a - b - c) - (a + b + c)bc + 3abc = a(a + b + c)(2a - b - c) + bc(2a - b - c)

\displaystyle  = (2a - b - c)({a^2} + ab + ac + bc) = (2a - b - c)(a + b)(a + c)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες