Άθροισμα κύβων

#1

Αν

είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα

να παραγοντοποιηθεί η παράσταση a^3+b^3+c^3.

Για ένα 24ωρο.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 7:03 pm
Αν είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα να παραγοντοποιηθεί η παράσταση

Για ένα 24ωρο.

Καλησπέρα!
$\rm a^3+b^3+c^3=a^3+b(a^2-c^2)+c(a^2-b^2)=a^2(a+b)-bc^2+c(a-b)(a+b)=$
$\rm =a^2(a+b)-b(a-b)(a+b)+c(a-b)(a+b)=(a+b)(a^2+ac-bc-ab+b^2)=$
$\rm =(a+b)(a^2-c^2+a^2+ac-bc-ab)=(a+b)((a-c)(a+c)+a(a+c)-b(a+c))=$
$\rm=(a+b)(a+c)(a-c+a-b)=(a+b)(a+c)(2a-b-c)$

#3

Ωραία λύση. Δίνω μία διαφορετική μόνο και μόνο για να επισημάνω μία ιδιότητα των ορθογωνίων τριγώνων που συχνά την ξεχνάμε (*).

Μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε $c=2tm,\, b=t^2- m^2,\, a=t^2+m^2$ για κάποια t>m>0

. Για την απόδειξη παίρνουμε τις τιμές που μας καθοδηγούν οι δύο τελευταίες, δηλαδή $2t^2=a+b, \, 2m^2=a-b$ και ελέγχουμε ότι ισχύει και η c=2tm

.

To πλεονέκτημα είναι ότι τα t,m

είναι "ελεύθερα", χωρίς συνθήκες που τα δένουν, οπότε δεν χρειάζονται τεχνάσματα στον δρόμο. Εδώ

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3= (t^2+m^2)^3+ (t^2- m^2)^3 +(2tm)^3}$

το οποίο μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε εύκολα αφού ως πολυώνυμο του

δεν έχει σταθερό όρο και μηδενίζεται για t=-m

(το βλέπουμε αυτό πριν ανοίξουμε τις παρενθέσεις).

Θα βρούμε ότι ισούται

$\displaystyle{2t^2(3m^2-2tm+t^2)(m+t)^2}$

Βάζοντας πίσω τις τιμές των a,b, c

(για παράδειγμα ο όρος (m+t)^2=m^2+t^2+2tm=a+c

) θα βρούμε

$\displaystyle{(a+b)(a+c)(2a-b-c)}$ , όπως στην λύση του Πρόδρομου

(*) Σχολιάζω ότι τις παραστάσεις που έγραψα τις συναντάμε όταν δουλεύουμε με ακέραια μεγέθη, αλλά ισχύουν γενικότερα. Στα ακέραια a,b,c

απλά τα

είναι και αυτά ακέραια, ως γνωστόν από την Θεωρία Αριθμών.

#4

Αλλιώς, αξιοποιώντας την ταυτότητα $\boxed{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2}-ab-bc-ac)}$

$\displaystyle {a^3} + {b^3} + {c^3} = (a + b + c)(2{a^2} - ab - bc - ac) + 3abc$

$\displaystyle = (a + b + c)a(2a - b - c) - (a + b + c)bc + 3abc = a(a + b + c)(2a - b - c) + bc(2a - b - c)$

$\displaystyle = (2a - b - c)({a^2} + ab + ac + bc) = (2a - b - c)(a + b)(a + c)$

Άθροισμα κύβων

Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Μέλη σε σύνδεση