Υπερανισότητα

KARKAR · #1

Δείξτε ότι για τους θετικούς a ,b

, ισχύει : (8a^2+b^2)^2 > 16a^3b

.

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Θα χρησιμοποιήσω τις ανισότητες $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ και $(x+y)^2\geq 4xy$

Εχω λοιπόν:

$(8a^2+b^2)^2=(4a^2+4a^2+b^2)^2\geq (4a^2+4ab)^2=16(a^2+ab)^2\geq 64a^3b> 16a^3b$ ,

ό.έ.δ.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

Με απλά μέσα (ΑΜ-ΓΜ): Bρίσκουμε τρεις θετικούς αριθμούς A, B,C

με

. Υπάρχουν πολλοί, π.x. $\displaystyle{A=1, B= \dfrac {7+\sqrt {45}}{2},\, C= \dfrac {7-\sqrt {45}}{2}}$ .

Είναι τότε

$\displaystyle{8a^2+b^2 = Aa^2+Ba^2+ Ca^2+b^2 \ge 4 \sqrt [4]{ABCa^6b^2}= 4 \sqrt {a^3b} }$

που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.

geoberdenis2004 · #4

Μία ακόμη λύση:
Θέτω $8a^{2}=x\Leftrightarrow 16a^{3}=2x\sqrt{x}$ .Άρα:
$(x+b^{2})^{2}> 2x\sqrt{x}b\Leftrightarrow x^{2}+2xb^{2}+b^{4}-2x\sqrt{x}b> 0\Leftrightarrow (x-b\sqrt{x})^{2}+b^{2}x+b^{4}> 0$ ,που ισχύει ως άθροισμα μη αρνητικών αριθμών.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 3:02 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .
Με απλά μέσα (ΑΜ-ΓΜ): Bρίσκουμε τρεις θετικούς αριθμούς με . Υπάρχουν πολλοί, π.x. $\displaystyle{A=1, B= \dfrac {7+\sqrt {45}}{2},\, C= \dfrac {7-\sqrt {45}}{2}}$ .

Είναι τότε

$\displaystyle{8a^2+b^2 = Aa^2+Ba^2+ Ca^2+b^2 \ge 4 \sqrt [4]{ABCa^6b^2}= 4 \sqrt {a^3b} }$

που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.

Τώρα βλέπω ότι η ανισότητα είναι γνήσια. Βελτιώνω:

Bρίσκουμε τρεις θετικούς αριθμούς A, B,C

με

. Υπάρχουν πολλοί, π.x. $\displaystyle{A=\frac {1}{2}, B= \dfrac {15+\sqrt {161}}{4},\, C= \dfrac {15-\sqrt {161}}{4}}$ .

$\displaystyle{8a^2+b^2 = Aa^2+Ba^2+ Ca^2+b^2 \ge 4 \sqrt [4]{ABCa^6b^2}= 4 \sqrt [4]{2} \sqrt {a^3b} }$

Υψώνοντας στο τετράγωνο είναι $\displaystyle{8a^2+b^2)^2 \ge 16 \sqrt 2 a^3b> 16a^3b}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

Έστω $m= \dfrac{a}{b} .$ Ισοδύναμα η δοθείσα γράφεται

$b^4 [8( \dfrac{a}{b} )^2+1]^2>16a^3b \Leftrightarrow (8m^2+1)^2>16m^3 \Leftrightarrow 16m^2(4m^2-m+1)+1>0$

αληθής αφού 4m^2-m+1>0

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

Επειδή

αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle 8{a^2} + {b^2} > 4a\sqrt {ab} .$ Θέτω b=x>0

και θεωρώ τη συνάρτηση

$\displaystyle f(x) = {x^2} + 8{a^2} - 4a\sqrt {ax} .$ Θα δείξω ότι f(x)>0,

για κάθε

$\displaystyle f'(x) = \frac{{2(x\sqrt {ax} - {a^2})}}{{\sqrt {ax} }} > 0 \Leftrightarrow x > a>0.$ Άρα, $\displaystyle f(x) \ge f(a) = 5{a^2} > 0.$

#8

Kαλησπέρα σε όλους.

Για κάθε a, b>0

ισχύει

$\displaystyle \begin{array}{l} {\left( {8{a^2} + {b^2} - 2ab} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 64{a^4} + {b^4} + 20{a^2}{b^2} - 4a{b^3} - 32{a^3}b \ge 0\\ \Leftrightarrow 64{a^4} + {b^4} + 16{a^2}{b^2} - 16{a^3}b - 4a{b^3} - 16{a^3}b + 4{a^2}{b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {8{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 16{a^3}b - 4ab\left( {4{a^2} + {b^2} - ab} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {8{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 16{a^3}b \ge 4ab\left[ {{{\left( {4a + b} \right)}^2} + 3ab} \right] > 0 \end{array}$

KARKAR · #9

Αν αντικαταστήσουμε τον συντελεστή του a^2

- που είναι το

- με το

,

εξακολουθεί άραγε να ισχύει η - έστω όχι πλέον αυστηρή - ανισότητα ;

Τι γίνεται αν το

, γίνει

και τι , αν γίνει

;

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 7:22 pm
Αν αντικαταστήσουμε τον συντελεστή του - που είναι το - με το ,

εξακολουθεί άραγε να ισχύει η - έστω όχι πλέον αυστηρή - ανισότητα ;

Τι γίνεται αν το , γίνει και τι , αν γίνει ;

-Για

στη θέση του

δεν ισχύει. Δηλαδή δεν ισχύει πάντα $(2a^2+b^2)^2 \ge 16a^3b$ . Π.χ. για a=b=1

δίνει $9\ge 16$

-Για

ισχύει. Δηλαδή είναι $(3a^2+b^2)^2 \ge 16a^3b$ . Πράγματι

$(3a^2+b^2)^2 - 16a^3b= ... = (9a^2+2ab+b^2)(a-b)^2 \ge 0$ .

-Κατά μείζονα λόγο ισχύει για

καθώς

$(4a^2+b^2)^2 > (3a^2+b^2)^2 \ge 16a^3b$ .

#11

Άλλη (και απλή) απόδειξη της περίπτωσης "3" στο ύφος του πρώτου μου ποστ.

Έχουμε από ΑΜ-ΓΜ

$3a^2+b^2 = a^2+a^2+a^2 +b^3 \ge 4\sqrt [4] {a^6b^2} =4\sqrt {a^3b}$ .

Υψώνοντας στο τετράγωνο, έχουμε το ζητούμενο.

Ας προσθέσω ότι κατά μείζονα λόγο αυτή δίνει την αρχική ανίσωση, με το "8".

p_gianno · #12

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

$(8a^2+b^2)^2 > 16a^3b \Leftrightarrow (8a^2+b^2)^2 - 16a^3b>0 \Leftrightarrow$

$64a^4+16a^2b^2+b^4-2 \cdot 8a^2 \cdot ab+a^2b^2-a^2b^2>0 \Leftrightarrow$

(8a^2-ab)^2+b^4+15a^2b^2>0

Η οποία ισχύει ως άθροισμα θετικών όρων.

KARKAR · #13

Η άσκηση ( στην αρχική της εκδοχή ) είναι ανάμεσα σε πλήθος άλλων , των οποίων οι προτεινόμενες λύσεις

στηρίζονται στο Θ. Μ .Τ. Υπάρχει άραγε τέτοια λύση στην άσκηση ετούτη ;

#14

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 7:48 am
Η άσκηση ( στην αρχική της εκδοχή ) είναι ανάμεσα σε πλήθος άλλων , των οποίων οι προτεινόμενες λύσεις

στηρίζονται στο Θ. Μ .Τ. Υπάρχει άραγε τέτοια λύση στην άσκηση ετούτη ;

Διαιρώντας με b^4

, η αρχική ισοδυναμεί με την $\displaystyle{(8x^2+1)^2>16x^3,\, x>0}$ . Αυτή ισχύει διότι από Θ.Μ.Τ. στο $[0,\,x]$ είναι

$\displaystyle{ (8x^2+1)^2-16x^3= (256 \xi^3 -48\xi ^2+32\xi )(x-0) = 16\xi(16\xi^2 -3\xi +2)x>0}$ (το δευτεροβάθμιο έχει αρνητική διακρίνουσα).

#15

Ας δούμε τι γίνεται και από την άλλη μεριά της ανισότητας:

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή σταθερά

τέτοια ώστε $(8a^2+b^2)^2 \ge Ma^3b$ για κάθε a,b

.

Από το ποστ #2 του Κώστα (ksofsa) αναμένουμε $M\ge 64$ . Βρήκα το

με Απειροστικό Λογισμό αλλά μετά, γνωρίζοντας το σωστό

, μπορούμε να κάνουμε και αλγεβρικές λύσεις.

p_gianno · #16

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

Δίνω την λύση του ίδιου του Ζήβα εδώ

#17

p_gianno έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 10:29 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

Δίνω την λύση του ίδιου του Ζήβα εδώ

Πολύ ενδιαφέρουσα απόδειξη. Ευχαριστώ!

Παρεμπιπτόντως, μου άρεσε και η δική σου απόδειξή

ksofsa · #18

Καλημέρα σε όλους!

Έχω:

$(8a^2+b^2)^2=(\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+b^2)^2\geq (4\sqrt[4]{\dfrac{8^3}{3^3}a^6b^2})^2=16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}a^3b$

με ισότητα για $\dfrac{8}{3}a^2=b^2$ .

Δεδομένου ότι πιάνεται η ισότητα, δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η μέγιστη τιμή του

είναι $16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}$ .

#19

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 11:56 am
Καλημέρα σε όλους!

Έχω:

$(8a^2+b^2)^2=(\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+\dfrac{8}{3}a^2+b^2)^2\geq (4\sqrt[4]{\dfrac{8^3}{3^3}a^6b^2})^2=16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}a^3b$

με ισότητα για $\dfrac{8}{3}a^2=b^2$ .

Δεδομένου ότι πιάνεται η ισότητα, δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η μέγιστη τιμή του είναι $16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}$ .

Σωστά. Και για να κάνουμε σύγκριση, είναι $16\sqrt{\dfrac{8^3}{3^3}}\approx 69,67$ , που βελτιώνει το

που βλέπαμε μέχρι τώρα.

Αν θέλουμε μέθοδο με Απειροστικό, θέλουμε $(8x^2+1)^2 \ge M x^3$ ισοδύναμα $\displaystyle{\dfrac {(8x^2+1)^2}{x^3}\ge M}$ για x>0

. Δηλαδή το

είναι το ολικό της ελάχιστο του αριστερού μέλους. Το αριστερό αυτό μέλος έχει παράγωγο

$\displaystyle{\dfrac {64x^4-16x^2-3}{x^4}}$ , που μηδενίζεται για $\displaystyle{x= \dfrac {\sqrt {6}}{4}}$ από όπου τελικά το ολικό ελάχιστό της έχει τιμή ως άνω.

#20

Ας δούμε και το ανάποδο πρόβλημα.

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή σταθερά στην θέση του

; Δηλαδή, ποια είναι η μικρότερη δυνατή
σταθερά

για την οποία ισχύει $(Ma^2+b^2)^2 \ge 16a^3b$ για όλους τους θετικούς a ,b

;

(Στα παραπάνω ήδη υπάρχει αυτή η σταθερά, αλλά όχι ως προς το ερώτημα αν είναι η βέλτιστη).

Υπερανισότητα

Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Μέλη σε σύνδεση