Παράλληλες και κάθετες

#1

: Συντρέχεια..png (20.43 KiB) Προβλήθηκε 1498 φορές

είναι το ύψος τριγώνου ABC.

Πάνω στην

θεωρούμε τα σημεία E, K

ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία F, L

πάνω στην

Να δείξετε ότι οι EF, KL

τέμνονται πάνω στην ευθεία BC.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
είναι το ύψος τριγώνου Πάνω στην θεωρούμε τα σημεία ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία πάνω στην Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στην ευθεία

Έστω $\rm P_1\equiv KL \cap BC,P_2 \equiv EF \cap BC$ .Από θεώρημα Μενελάου στο $\rm ABC$ για τις διατέμνουσες $\rm \overline{P_1LK},\overline{P_2FE}$ παίρνουμε
$\left\{\begin{matrix} & \rm \dfrac{P_1B}{P_1C}=\dfrac{LB}{LA}\cdot \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \\ & \rm \dfrac{P_2B}{P_2C}=\dfrac{FB}{FA}\cdot \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \end{matrix}\right.\rm \Rightarrow P_1\equiv P_2$

#3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:21 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
είναι το ύψος τριγώνου Πάνω στην θεωρούμε τα σημεία ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία πάνω στην Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στην ευθεία
Έστω $\rm P_1\equiv KL \cap BC,P_2 \equiv EF \cap BC$ .Από θεώρημα Μενελάου στο $\rm ABC$ για τις διατέμνουσες $\rm \overline{P_1LK},\overline{P_2FE}$ παίρνουμε
$\left\{\begin{matrix} & \rm \dfrac{P_1B}{P_1C}=\dfrac{LB}{LA}\cdot \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \\ & \rm \dfrac{P_2B}{P_2C}=\dfrac{FB}{FA}\cdot \dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BD^2}{DC^2} & \end{matrix}\right.\rm \Rightarrow P_1\equiv P_2$

Είσαι ασταμάτητος!

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
είναι το ύψος τριγώνου Πάνω στην θεωρούμε τα σημεία ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία πάνω στην Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στην ευθεία

Ενδιαφέρον θέμα . Υπάρχει και γωνιακή απόδειξη (Το

είναι το ριζικό κέντρο τριών ανά δύο τεμνομένων κύκλων)

Θα περιμένω την απάντηση και θα επανέλθω αν δεν δοθεί

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
είναι το ύψος τριγώνου Πάνω στην θεωρούμε τα σημεία ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία πάνω στην Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στην ευθεία

Ας δούμε και μια διαφορετική (διαφορετική από αυτή που πρότεινα στην προηγούμενη ανάρτηση) από την αντιμετώπιση του Πρόδρομου που έχει «πάρει παραμάζωμα» θέματα αρκετών ετών !!!!

: Παράλληλες και κάθετες.png (37.89 KiB) Προβλήθηκε 1376 φορές

Έστω $P\equiv BC\cap KL$ . Προφανώς (λόγω των ορθών γωνιών $\angle DLA=\angle DKA={{90}^{0}}$ ) το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου και κέντρου (το κέντρο του παραλληλογράμμου ) που προφανώς $PD\left( AD\bot BD \right)$ εφαπτόμενο τμήμα του από το και ας είναι το δεύτερο εφαπτόμενό του τμήμα.
Τότε το τετράπλευρο είναι αρμονικό και συνεπώς (για το σημείο του κύκλου ) η δέσμη $A.SLDK\equiv A.SFDE$ είναι αρμονική και με το μέσο της $FE\Rightarrow SA\parallel FE\overset{SA\bot SD,O\,\,\kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\,\,\tau o\upsilon \,\,\kappa \upsilon \kappa \lambda o\upsilon }{\mathop{\Rightarrow }}\,EF$ μεσοκάθετη της χορδής του η οποία προφανώς διέρχεται από το σημείο τομής των εφαπτομένων στα άκρα της εν λόγω χορδής του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Στάθης

#6

Κλασσικό παράδειγμα για εξοικείωση στους Διπλούς λόγους.

$\bullet$ Για να συντρέχουν οι ευθείες $EF,\ KL,\ BC$ , αρκεί να αποδειχθεί ότι οι σημειοσειρές $A,\ F,\ L,\ B$ και $A,\ E,\ K,\ C$ έχουν ίσους Διπλούς λόγους.

Αρκεί να αποδειχθεί δηλαδή ότι ισχύει $(A,F,L,B) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(1)$

Παρατηρούμε ότι στις δέσμες $D.AFLB,\ D.CKEA$ οι γωνίες που σχηματίζουν οι ομόλογες ακτίνες τους είναι ίσες.

$\angle ADF = \angle CAE = \angle CDK$ και $\angle FDL = 90^{o} - \angle A = \angle KDE$ και $\angle LDB = \angle DAB = \angle EDA$

Επομένως, οι δέσμες αυτές έχουν ίσους Διπλούς λόγους και άρα, ισχύει $(D.AFLB) = (D.CKEA)\ \ \ ,(2)$

Οι ως άνω δέσμες τέμνονται από τις ευθείες $AB,\ AC$ αντιστοίχως και άρα, έχουμε

$(D.AFLB) = (A,F,L,B)\ \ \ ,(3)$ και $(D.CKEA) = (C,K,E.A)\ \ \ ,(4)$

Από $(2),\ (3),\ (4)\Rightarrow$ $(A,F,L,B) = (C,K,E,A)\ \ \ ,(5)$

Αλλά, ισχύει $(C,K,E,A) = (A,E,K,C)\ \ \ ,(6)$

η τιμή του Διπλού λόγου δεν μεταβάλλεται όταν δύο στοιχεία μέσα στην παρένθεση αλλάξουν θέση μεταξύ τους και ταυτόχρονα τα υπόλοιπα στοιχεία, αλλάξουν επίσης θέση μεταξύ τους

.

Έτσι, από $(5),\ (6)\Rightarrow$ (1)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. (30-09-2022) Δείτε και Εδώ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
είναι το ύψος τριγώνου Πάνω στην θεωρούμε τα σημεία ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία πάνω στην Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στην ευθεία

Όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με την γωνία

και οι κόκκινες με την γωνία

.

Επομένως, MKCD

εγγράψιμο,άρα $CM \bot ED$ και $\triangle FLD \simeq \triangle EMC$ όπως και $\triangle LBD \simeq \triangle MDC$

$\dfrac{FL}{EM}= \dfrac{LD}{MC}= \dfrac{LB}{MD}$ .Έτσι,σύμφωνα με το θ.κ.δέσμης οι CB,KL,EF

συντρέχουν

: Παράλληλες και κάθετες.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 1278 φορές

#8

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τετ Απρ 22, 2020 2:59 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 20, 2020 8:06 pm
Συντρέχεια..png
είναι το ύψος τριγώνου Πάνω στην θεωρούμε τα σημεία ώστε $DE||AB, DK\bot AC.$

Ανάλογα ορίζονται τα σημεία πάνω στην Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στην ευθεία
Όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες με την γωνία και οι κόκκινες με την γωνία .

Επομένως, εγγράψιμο,άρα $CM \bot ED$ και $\triangle FLD \simeq \triangle EMC$ όπως και $\triangle LBD \simeq \triangle MDC$

$\dfrac{FL}{EM}= \dfrac{LD}{MC}= \dfrac{LB}{MD}$ .Έτσι,σύμφωνα με το θ.κ.δέσμης οι συντρέχουν

Παράλληλες και κάθετες.png

#9

Η άσκηση βγαίνει αν χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω γνωστή πρόταση(γιατί;): (απόδειξη με Pascal)
viewtopic.php?f=112&t=24361&p=122491&hi ... al#p122491

S.E.Louridas · #10

Ας υπενθυμίσουμε εδώ το βασικό πρόβλημα (σύμπλεγμα ευθειών και κύκλων), μέσω του σχήματος, που τα μαρτυρά όλα και που ακολουθεί, και που σε συνδυασμό με το μονοσήμαντο των στοιχείων, έχουμε την ταύτiση των

και των

, του σχήματος της εκφώνησης με των αντίστοιχων του εδώ προβλήματος. To πρόβλημα που ανέφερα, και για την ιστορία, αποδεικνύεται "γρήγορα" ως εφαρμογή του θεωρήματος: σε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της κάθετης πλευράς του ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί τη προβολή της κάθετης πλευράς στην υποτείνουσα (ή θεωρία ριζικού άξονα) για να αποδείξουμε την ομοκυκλικότητα των L,B,C,K

και ακολουθεί το κέντρο

της ομοιοθεσίας για τα τρίγωνα FBD, EDC

.

: ΑΑ.png (25.51 KiB) Προβλήθηκε 1103 φορές

Παράλληλες και κάθετες

Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Re: Παράλληλες και κάθετες

Μέλη σε σύνδεση