, πτυχιούχοι πλέον των Μαθηματικών, κυνηγώντας την τύχη τους. Βγαίνοντας από τις αίθουσες του 3ου ΓΕΛ Πειραιά, άρχισαν να κάνουν μια κουβέντα για τα θέματα που αντιμετώπισαν.‘Ωραία θέματα, εύκολα!’ Είπε ο Σπύρος.
‘Λίγο πονηρά θα έλεγα, αλλά ευτυχώς ήμουν προετοιμασμένος’, είπε ο Χρήστος.
‘Τι εννοείς;’ Ρώτησε ο Σπύρος.
‘Ε, να αυτό το θέμα που ζητούσε αν οι συναρτήσεις
είναι γνησίως αύξουσες τότε και η σύνθεση τους είναι γνησίως αύξουσα’, απάντησε ο Χρήστος.‘Μα αυτό είναι πολύ απλό και άμεσο!’, συμπλήρωσε ο Σπύρος.
‘Απλό; Δε θα το έλεγα! Πριν λίγο καιρό παρακολούθησα ένα συνέδριο στο μακρινό Ντουμπάι και ακούγοντας την ομιλία του διεθνούς φήμης Ρώσου Μαθηματικού Ivan Kucobolov όπου εκεί απλά το κατέρριψε με πολύ απλό τρόπο κιόλας. Σημειώνω πως η επιστημονική επιτροπή του συνεδρίου είναι πολύ δύσκολη, όπως και του δικού μας. Δεν περνάει κουνούπι!’, είπε ο Χρήστος.
‘ Για πες, για πες!’, απαίτησε ο Σπύρος.
‘Να χρησιμοποίησε το εξής αντιπαράδειγμα και στην ουσία αυτό είχα στο μυαλό μου’, είπε ο Χρήστος κι άρχισε τα Μαθηματικά!
Πήρε τη συνάρτηση
![f\left( x \right)={{3}^{\frac{x}{4}}},\text{x}\in (-\infty ,0]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b5c984840d90f2fcad38e81d356eb6c6.png "f\left( x \right)={{3}^{\frac{x}{4}}},\text{x}\in (-\infty ,0]")
και τη συνάρτηση 
. Το πεδίο ορισμού της σύνθεσης 
είναι το ![A_{g\circ f}}=\left\{ x\in {{D}_{f}}:f\left( x \right)\in {{D}_{g}} \right\}=\left\{ x\in (-\infty ,0]:{{3}^{\frac{x}{4}}}\in \mathbb{R} \right\}=(-\infty ,0]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c82b39b22bdcd445e03764c86c4d92d6.png "A_{g\circ f}}=\left\{ x\in {{D}_{f}}:f\left( x \right)\in {{D}_{g}} \right\}=\left\{ x\in (-\infty ,0]:{{3}^{\frac{x}{4}}}\in \mathbb{R} \right\}=(-\infty ,0]")
και ο τύπος εύκολα τώρα βγαίνει: ![g\left( f\left( x \right) \right)=-{{\left( {{3}^{\frac{x}{4}}} \right)}^{4}}=-{{3}^{x}},\text{ x}\in (-\infty ,0]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6037543696c962afdba528b87ffbea41.png "g\left( f\left( x \right) \right)=-{{\left( {{3}^{\frac{x}{4}}} \right)}^{4}}=-{{3}^{x}},\text{ x}\in (-\infty ,0]")
. Επομένως η
γνησίως αύξουσα στο ![(-\infty ,0]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f9d75a40b8eadac31117745d2255ef61.png "(-\infty ,0]")
ομοίως και η 
στο , όμως η σύνθεση τους είναι φανερά γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο !!‘ Πω πω τι λες τώρα; Πάλι λάθος το έχω. Μα να μην το έχω σκεφτεί…’ είπε απογοητευμένος ο Σπύρος.
Ο καιρός πέρασε, η βαθμολογία στα Μαθηματικά βγήκε και ο Σπύρος που είχε τις ίδιες απαντήσεις με τον Χρήστο εκτός από αυτό το ερώτημα πήρε 5 μονάδες παραπάνω ακριβώς τόσες όσες αντιστοιχούσαν στο ερώτημα που υπήρχε η διαφωνία.
Τι συνέβη; Ποιος έχει δίκιο;
Αδικήθηκε ο Χρήστος που ακολούθησε αυτό που είδε στο συνέδριο Μαθηματικών;
Μπορείτε να βοηθήσετε;
είναι γνήσια θετικό). Οπότε η απόδειξη για την εύρεση του 
, όπως την γράφεις στο ωραίο διάλογο που παραθέτεις, έχει πρόβλημα.
![\displaystyle {x_1},\;{x_2}( - \infty ,0]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/158185acf2bd82b5bde95bac735c8807.png "\displaystyle {x_1},\;{x_2}( - \infty ,0]")
με 
, οπότε 
, αφού ![\displaystyle f\left( x \right) = {3^{\frac{x}{4}}}\;\; \nearrow \;\;\forall x \in ( - \infty ,0]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/65167fb7d1e261a9d6e9e208d728fc61.png "\displaystyle f\left( x \right) = {3^{\frac{x}{4}}}\;\; \nearrow \;\;\forall x \in ( - \infty ,0]")
.
, αφού 
.
... Αν τους άκουγε ο καθηγητής τους από το 