Άσκηση με Bolzano

[panagiotis iliopoulos]

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με: για κάθε

και . Να αποδείξετε ότι:
α) ,

β) υπάρχει μοναδικό με ,

γ) υπάρχει μοναδικό με .

Συγχωρήστε με για το γράψιμο αλλά το latex μου δεν λειτουργεί καλά.

[stranger]

Αφού για κάθε έχουμε ότι η διατηρεί πρόσημο.
Αν η ήταν αρνητική θα είχαμε το οποίο είναι άτοπο από υπόθεση.
Αυτό αποδεικνύει το α).
Για το β) αφού η είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε οπότε , οπότε . Ομοίως έχουμε , οπότε . Τώρα το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύει το β).
Για το γ) έχουμε εις άτοπο ότι αν η συνάρτηση δεν μηδενίζεται,τότε διατηρεί πρόσημο.
Αν γα κάθε τότε , και .
Οπότε το οποίο είναι άτοπο.
Αν για κάθε τότε ομοίως θα είχαμε , το οποίο είναι πάλι άτοπο.
Άρα υπάρχει ώστε .
Αυτό το είναι μοναδικό επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, το οποίο αποδεικνύει το γ).

[Άρχοντας]

Α) Επειδή η f δεν μηδενίζεται στο διάστημα [2,8] και f συνεχής στο [2,8] τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν η f(x)<0 τότε f(2)f(4)f(8)<0 άτοπο διότι f(2)f(4)f(8)=64>0 Β) 2<4<8 επειδή f γνησίως φθίνουσα άρα f(2)>f(4)>f(8). Επίσης f(2)>f(4) και f(2)>f(8) πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα πάρουμε f(2)f(2)>f(4)f(8) και τέλος πολλαπλασιάζοντας με f(2) και τα δύο μέλη παίρνουμε ότι f³(2)>f(2)f(4)f(8)=64 τέλος f(2)>4. Επιπλέον f(8)<f(2) και f(8)<f(4) πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι f(8)f(8)<f(2)f(4) και πολλαπλασιάζοντας με f(8) παίρνουμε f³(8)<f(2)f(4)f(8)=64 και τελικά f(8)<4. Τέλος από ΘΕΤ υπάρχει τουλάχιστον ένα x1ε(2,8):f(x1)=4 και επειδή f γνησίως φθίνουσα το χ1 είναι μοναδικό. Γ) θεωρώ συνάρτηση g(x)=f(x)-x αν g(x)>0 τότε και f(x)-x>0 άρα f(x)>x αν x=2 τότε f(2)>2 αν x=4 τότε f(4)>4 αν x=8 τότε f(8)>8 και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε ότι f(2)f(4)f(8)>64 άτοπο ομοίως και για g(x)<0 επομένως υπάρχει x2ε[2,8]:g(x2)=0 ή f(x2)=x2 και επειδή g γνησίως φθίνουσα το x2 είναι μοναδικό. Τέλος ζητώ ταπεινά συγγνώμη που δεν γράφω σε latex αλλά είμαι νέο μέλος και δεν έχω μάθει ακόμα να γράφω σε latex. Καλό βράδυ.

[maiksoul]

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση με: για κάθε

και . Να αποδείξετε ότι:
α) ,

β) υπάρχει μοναδικό με ,

γ) υπάρχει μοναδικό με .

Συγχωρήστε με για το γράψιμο αλλά το latex μου δεν λειτουργεί καλά.

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά στους εορτάζοντες.

Για τα ερωτήματα β,γ μια προσπάθεια.

β) Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιο και ότι είναι

Η συνάρτηση ως συνεχής θα διατηρεί το πρόσημο της

Ας θεωρήσουμε ότι αυτό είναι θετικό (όμοια η άλλη περίπτωση),δηλαδή είναι:



Από την παραπάνω παίρνουμε

καθώς και παίρνοντας όρια ,

τις

Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε το οποίο είναι Άτοπο.

Επομένως εξασφαλίσαμε την ύπαρξη.Η μοναδικότητα έπεται λόγω μονοτονίας .

Ομοίως μπορούμε να δουλέψουμε και για το ερώτημα γ)

[stranger]

Α) Επειδή η f δεν μηδενίζεται στο διάστημα [2,8] και f συνεχής στο [2,8] τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν η f(x)<0 τότε f(2)f(4)f(8)<0 άτοπο διότι f(2)f(4)f(8)=64>0 Β) 2<4<8 επειδή f γνησίως φθίνουσα άρα f(2)>f(4)>f(8). Επίσης f(2)>f(4) και f(2)>f(8) πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη θα πάρουμε f(2)f(2)>f(4)f(8) και τέλος πολλαπλασιάζοντας με f(2) και τα δύο μέλη παίρνουμε ότι f³(2)>f(2)f(4)f(8)=64 τέλος f(2)>4. Επιπλέον f(8)<f(2) και f(8)<f(4) πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι f(8)f(8)<f(2)f(4) και πολλαπλασιάζοντας με f(8) παίρνουμε f³(8)<f(2)f(4)f(8)=64 και τελικά f(8)<4. Τέλος από ΘΕΤ υπάρχει τουλάχιστον ένα x1ε(2,8):f(x1)=4 και επειδή f γνησίως φθίνουσα το χ1 είναι μοναδικό. Γ) θεωρώ συνάρτηση g(x)=f(x)-x αν g(x)>0 τότε και f(x)-x>0 άρα f(x)>x αν x=2 τότε f(2)>2 αν x=4 τότε f(4)>4 αν x=8 τότε f(8)>8 και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε ότι f(2)f(4)f(8)>64 άτοπο ομοίως και για g(x)<0 επομένως υπάρχει x2ε[2,8]:g(x2)=0 ή f(x2)=x2 και επειδή g γνησίως φθίνουσα το x2 είναι μοναδικό. Τέλος ζητώ ταπεινά συγγνώμη που δεν γράφω σε latex αλλά είμαι νέο μέλος και δεν έχω μάθει ακόμα να γράφω σε latex. Καλό βράδυ.

Είναι ακριβώς η ίδια λύση με τη δικιά μου παραπάνω. Νομίζω δεν υπάρχει λόγος να γράφουμε τα ίδια πράγματα.

[Άρχοντας]

Δεν μου έβγαζε το κινητό μου την λύση σας για αυτό την έγραψα.