Μεγιστοποίηση εμβαδού 54

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση εμβαδού.png (9.32 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

$\bigstar$ Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a\ell nx}{x^3}$ , παρουσιάζει μέγιστο . Σημείο

, με τετμημένη $x_{A}>1$ ,

κινείται πάνω στην $C_{f}$ και έστω

, η προβολή του

στον ημιάξονα

.

ι) Δείξτε ότι a>0

και υπολογίστε το ( το

) , αν επιπλέον σας δοθεί ότι : $f_{max}=4$ .

ιι) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OAA'

.

ιιι) Έχει λύσεις ( και αν ναι , πόσες ; ) η εξίσωση : $x^2-6\ell nx=0$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 26, 2020 9:40 am Μεγιστοποίηση εμβαδού.png $\bigstar$ Η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{a\ell nx}{x^3}$ , παρουσιάζει μέγιστο . Σημείο , με τετμημένη $x_{A}>1$ ,

κινείται πάνω στην $C_{f}$ και έστω , η προβολή του στον ημιάξονα .

ι) Δείξτε ότι και υπολογίστε το ( το ) , αν επιπλέον σας δοθεί ότι : $f_{max}=4$ .

ιι) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

ιιι) Έχει λύσεις ( και αν ναι , πόσες ; ) η εξίσωση : $x^2-6\ell nx=0$ ;

: Μεγιστοποίηση εμβαδού.54.png (10.93 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

I) $\displaystyle f'(x) = \frac{{a(1 - 3\ln x)}}{{{x^4}}},$ άρα αν $a\ne 0,$ η

παρουσιάζει για $\displaystyle x_0 = \sqrt[3]{e}$ ακρότατο ίσο με $\displaystyle f(\sqrt[3]{e}) = \frac{a}{{3e}}$

Αν το ακρότατο αυτό είναι μέγιστο, τότε a>0

και αν είναι ίσο με

τότε $\boxed{a=12e}$

II) Υποθέτω ότι ισχύουν τα δεδομένα του (Ι) ερωτήματος. $\displaystyle (OAA') = E(x) = \frac{{6e\ln x}}{{{x^2}}},x > 0$ με παράγωγο

$\displaystyle E'(x) = \frac{{6e(1 - 2\ln x)}}{{{x^3}}},$ άρα η

παρουσιάζει για $x=\sqrt e,$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{E(\sqrt e ) = 3}$

ΙΙΙ) Έστω $\displaystyle g(x) = {x^2} - 6\ln x,$ με παράγωγο $\displaystyle g'(x) = 2(x - \frac{3}{x}).$ Η

παρουσιάζει για $x=\sqrt 3$ ελάχιστη τιμή

$\displaystyle g(\sqrt 3 ) = 3(1 - \ln 3) < 0$ και είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({x^2} - 6\ln x) = + \infty - ( - \infty ) = + \infty ,$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}(1 - 6\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}) = + \infty (1 - 0) = + \infty .$ Εύκολα βρίσκουμε τα επιμέρους σύνολα τιμών,

άρα η εξίσωση $x^2-6\ln x=0$ έχει δύο ακριβώς ρίζες, μία στο διάστημα $\displaystyle (0,\sqrt 3 )$ και μία στο $\displaystyle (\sqrt 3 , + \infty )$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το ΙΙΙ) ερώτημα μπορεί να απαντηθεί χρησιμοποιώντας το ΙΙ) και αποδεικνύοντας ότι το εμβαδόν E(x)

του τριγώνου μπορεί στο διάστημα $(1, + \infty)$ να πάρει δύο φορές την τιμή

(που είναι και συντομότερο αφού κάποιες τιμές είναι ήδη υπολογισμένες).

Μεγιστοποίηση εμβαδού 54

Μεγιστοποίηση εμβαδού 54

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 54

Μέλη σε σύνδεση