Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Stelios V8 · #1

Έστω συνάρτηση $f:\left [ -5 ,5\right ]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\left [ -5 ,5\right ]$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left ( -5,5 \right )$ με $f\left ( 0 \right )= 5 , f'\left ( 0 \right )= 0$
και $f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )+\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -1 , \forall x\in\left ( -5,5 \right )$ .

(A) Να δειχθεί ότι $f\left ( x \right )= \sqrt{25-x^{2}} , \forall x \in \left [ -5,5 \right ]$ .

(B) Να μελετηθεί η

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

(Γ) Να δειχθεί ότι όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της

έχουν σταθερή απόσταση από την αρχή των αξόνων $O\left ( 0,0 \right )$ .

(Δ) Κινητό σημείο

, ξεκινάει από το σημείο $A\left ( 5,0 \right )$ και κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της

, ώστε η γωνία $\varphi = \angle AOM$ να αυξάνεται με ρυθμό $\varphi '\left ( t \right )= 0.1$ $\frac{rad}{sec}$ .
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της χορδής

τη χρονική στιγμή $t_{0}$ κατά την οποία $\varphi \left ( t_{0} \right )= \frac{\pi }{3} rad$ .

(E) Να βρεθεί το πλήθος ριζών της εξίσωσης $f\left ( x \right )= 5\cos x$ .
Διόρθωσα το πρόσημο στη διαφορική . Ευχαριστώ για την επισήμανση τον κύριο Σταμάτη Γλάρο .

Christos.N · #2

Η διορθωμένη θα ήταν

Stelios V8 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 12:47 pm
Έστω συνάρτηση $f:\left [ -5 ,5\right ]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\left [ -5 ,5\right ]$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left ( -5,5 \right )$ με $f\left ( 0 \right )= 5 , f'\left ( 0 \right )= 0$
και $f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )\bold{+}\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -1 , \forall x\in \left \bold{(} -5,5 \right\bold{)}$ .

(A) Να δειχθεί ότι $f\left ( x \right )= \sqrt{25-x^{2}} , \forall x \in \left [ -5,5 \right ]$ .

$f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )\bold{+}\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -1 \Rightarrow \left(f(x)f'(x)\right)'=(-x)'\Rightarrow f(x)f'(x)=-x+c$
και απο τις αρχικές συνθήκες c=0

,

άρα $\left(f^2(x))'=(-x^2)' \Rightarrow f^2(x)=c-x^2$ και πάλι απο τις αρχικές συνθήκες f^2(x)=25-x^2

.

Απο την $f\left ( x \right )= \sqrt{25-x^{2}} , \forall x \in \left (-5,5 \right)$ αν θεωρήσουμε ότι υπάρχει f(x_0)=0

για κάποιο $x_0\in(-5,5)$ θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Άρα η συνάρτηση ως συνεχής διατηρεί πρόσημο στο (-5,5)

και

άρα $f(x)=\sqrt{25-x^2},x\in(-5,5)$ .

Όμως η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής στο [-5,5]

συνεπώς $f(x)=\sqrt{25-x^2},x\in[-5,5]$

(B) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

Παραγωγίσιμη στο (-5,5)

με $f'(x)=-\dfrac{x}{\sqrt{25-x^2}}$
εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο [-5,0]

και γνησίως φθίνουσα στο [0,5]

παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο

το $f\left ( 0 \right )= 5$
ενώ ολικό ελάχιστο σε δύο θέσεις που είναι τα άκρα του διαστήματος x=-5,x=5

με

.

(Γ) Να δειχθεί ότι όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της έχουν σταθερή απόσταση από την αρχή των αξόνων $O\left ( 0,0 \right )$ .

Αν θέσουμε f(x)=y

τότε

όπου $y\ge0$ άρα πρόκειται για κύκλο με κέντρο το

και ακτίνα

,προφανώς όλα τα σημεία του κύκλου ισαπέχουν απο το κέντρο του.

(Δ) Κινητό σημείο , ξεκινάει από το σημείο $A\left ( 5,0 \right )$ και κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της , ώστε η γωνία $\varphi = \angle AOM$ να αυξάνεται με ρυθμό $\varphi '\left ( t \right )= 0.1$ $\frac{rad}{sec}$ .
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της χορδής τη χρονική στιγμή $t_{0}$ κατά την οποία $\varphi \left ( t_{0} \right )= \frac{\pi }{3} rad$ .

: DeepinScreenshot_select-area_20200426143522.png (25.99 KiB) Προβλήθηκε 2400 φορές

Είναι γνωστό ότι $AM=2R sin\frac{\varphi}{2}$ άρα $\frac{dAM}{dt}=R cos\frac{\varphi}{2} \frac{d\varphi}{dt}$ και στο σημείο t_0

θα είναι $\frac{dAM}{dt}=\frac{\sqrt{3}}{4}\mu./sec$ .

(E) Να βρεθεί το πλήθος ριζών της εξίσωσης $f\left ( x \right )= 5\cos x$ .

Είναι $\displaystyle{{\color{Red} f\left ( x \right )= 5\cos x \Rightarrow 25-x^2=25cos^2x \Rightarrow x^2=25 sin^2x }}$
όμως απο σχετική πρόταση του βιβλίου ${\color{Red} x^2\ge sin^2x}$ δηλαδή και ${\color{Red} x^2>sin^2x,x\neq 0}$ απο τα προηγούμενα προκύπτουν ότι $\displaystyle{{\color{Red} x=0}}$ η μοναδική ρίζα της εξίσωσης που την επαληθεύει.

Υ.Γ.2: Έψαχνα για κάτι λιτό, έκανα και ένα πρόχειρο σχήμα λάθος και τα παραπάνω όπως μου επεσήμανε και ο Στέλιος είναι λάθος.

Θα περιοριστούμε καθώς και οι δύο συναρτήσεις είναι άρτιες στο διάστημα [0,5]

μάλιστα θα το χωρίσουμε σε τρία υποδιαστήματα τα

$[0,\frac{\pi}{2}],[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ και $[\frac{3\pi}{2},5]$

Στο $[0,\frac{\pi}{2}]$ προφανής ρίζα το

για την

βρίσκουμε ότι h''(x)>0

άρα

γνησίως άυξουσα με h'(0)=0

άρα $h'(x)>0,~x\in(0,\frac{\pi}{2})$ δηλαδή

γνησίως μονότονη άρα 1-1

και η ρίζα είναι μοναδική.

Στο $[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ έχουμε $f(x)>0\ge g(x)$ και δεν υπάρχει ρίζα σε αυτό το διάστημα.

Στο $[\frac{3\pi}{2},5]$ με την παρατήρηση ότι $5<2\pi$ για την h(x)=f(x)-g(x)

βρίσκουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα άρα και 1-1

και απο το θεώρημα Bolzano την ύπαρξη ρίζας στο στο $(\frac{3\pi}{2},5)$ ,έπεται η μοναδικότητα της.

Συνολικά λόγο της συμμετρίας θα έχουμε τρείς ακριβώς ρίζες, δύο σε καθ'ενα απο τα διαστήματα $(-5,-\frac{3\pi}{2})$ και $(\frac{3\pi}{2},5)$ και ακόμα μία στο μηδέν.

Υ.Γ. Πρόσθεσα σχήμα και κάποια ορθογραφικά και λίγο επεξεργασία στην μορφοποίηση κειμένου.
Υ.Γ.3 Διόρθωσα ένα αριθμητικό στον ρυθμό μεταβολής και και μια ανισότητα.

Σταμ. Γλάρος · #3

Stelios V8 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 12:47 pm
Έστω συνάρτηση $f:\left [ -5 ,5\right ]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\left [ -5 ,5\right ]$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left ( -5,5 \right )$ με $f\left ( 0 \right )= 5 , f'\left ( 0 \right )= 0$
και $f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )-\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -1 , \forall x\in \left [ -5,5 \right ]$ .

(A) Να δειχθεί ότι $f\left ( x \right )= \sqrt{25-x^{2}} , \forall x \in \left [ -5,5 \right ]$ .

(B) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

(Γ) Να δειχθεί ότι όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της έχουν σταθερή απόσταση από την αρχή των αξόνων $O\left ( 0,0 \right )$ .

(Δ) Κινητό σημείο , ξεκινάει από το σημείο $A\left ( 5,0 \right )$ και κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της , ώστε η γωνία $\varphi = \angle AOM$ να αυξάνεται με ρυθμό $\varphi '\left ( t \right )= 0.1$ $\frac{rad}{sec}$ .
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της χορδής τη χρονική στιγμή $t_{0}$ κατά την οποία $\varphi \left ( t_{0} \right )= \frac{\pi }{3} rad$ .

(E) Να βρεθεί το πλήθος ριζών της εξίσωσης $f\left ( x \right )= 5\cos x$ .

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 2:39 pm
Η διορθωμένη θα ήταν

Stelios V8 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 12:47 pm
Έστω συνάρτηση $f:\left [ -5 ,5\right ]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής στο $\left [ -5 ,5\right ]$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left ( -5,5 \right )$ με $f\left ( 0 \right )= 5 , f'\left ( 0 \right )= 0$
και $f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )\bold{+}\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -1 , \forall x\in \left \bold{(} -5,5 \right\bold{)}$ .

(A) Να δειχθεί ότι $f\left ( x \right )= \sqrt{25-x^{2}} , \forall x \in \left [ -5,5 \right ]$ .
$f\left ( x \right ) f''\left ( x \right )\bold{+}\left ( f'\left ( x \right ) \right )^{2} = -1 \Rightarrow \left(f(x)f'(x)\right)'=(-x)'\Rightarrow f(x)f'(x)=-x+c$
και απο τις αρχικές συνθήκες ,

άρα $\left(f^2(x))'=(-x^2)' \Rightarrow f^2(x)=c-x^2$ και πάλι απο τις αρχικές συνθήκες .

Απο την $f\left ( x \right )= \sqrt{25-x^{2}} , \forall x \in \left (-5,5 \right)$ αν θεωρήσουμε ότι υπάρχει για κάποιο $x_0\in(-5,5)$ θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Άρα η συνάρτηση ως συνεχής διατηρεί πρόσημο στο και άρα $f(x)=\sqrt{25-x^2},x\in(-5,5)$ .

Όμως η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής στο συνεπώς $f(x)=\sqrt{25-x^2},x\in[-5,5]$

(Δ) Κινητό σημείο , ξεκινάει από το σημείο $A\left ( 5,0 \right )$ και κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της , ώστε η γωνία $\varphi = \angle AOM$ να αυξάνεται με ρυθμό $\varphi '\left ( t \right )= 0.1$ $\frac{rad}{sec}$ .
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της χορδής τη χρονική στιγμή $t_{0}$ κατά την οποία $\varphi \left ( t_{0} \right )= \frac{\pi }{3} rad$ .
Είναι γνωστό ότι $AM=2R sin\frac{\phi}{2}$ άρα $\frac{dAM}{dt}=R cos\frac{\phi}{2} \frac{d\phi}{dt}$ και στο σημείο θα είναι $\frac{dAM}{dt}=\frac{\sqrt{3}}{6}\mu./sec$ .

Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά σε όλους!
Μια προσπάθεια στο Δ και με νόμο συνημιτόνων...
Στο σχήμα του Χρήστου έχουμε: $(AM)^2 = (OA)^2 +(OM)^2 -2(OM)(OA)cos\phi$ .
Αν θεωρήσουμε : d(t)= (AM)

έχουμε $d(t)=5\sqrt{2(1-cos\phi (t))}$ παραγωγίσιμη με g'(x)=

$\dfrac{5sin\phi (t)\phi '(t)}{\sqrt{2(1-cos\phi (t))}}$ .
Για t=t_o

, έχουμε $d'(t_o)=\dfrac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0,1}{\sqrt{2(1-\frac{1}{2})}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ .
Φυσικά ο τρόπος του Χρήστου είναι πολύ πιο κομψός. Έχουμε και μια μικρή διαφορά στον παρονομαστή. Μπορεί να κάνω λάθος
Δεν ξέρω... με ταλαιπώρησε και πολύ το internet . Δεν κατεβάζει toν Εqeditor και γράφω με μεγάλη δυσκολία...
Επίσης μικρής σημασίας παρατήρηση: Το Α είναι στο (5,0)

. Όχι ότι παίζει κανένα ρόλο ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #4

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 5:41 pm
Έχουμε και μια μικρή διαφορά στον παρονομαστή. Μπορεί να κάνω λάθος
Δεν ξέρω... με ταλαιπώρησε και πολύ το internet . Δεν κατεβάζει toν Εqeditor και γράφω με μεγάλη δυσκολία...
Επίσης μικρής σημασίας παρατήρηση: Το Α είναι στο . Όχι ότι παίζει κανένα ρόλο ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Αληθώς ανέστη!
Έχεις δίκιο προφανώς, και στα δύο, δεν καμαρώνω για τις πράξεις μου και τα έργα μου...

.

Stelios V8 · #5

Για το (Ε) πάνω σε αυτήν την ιδέα κατασκεύασα την άσκηση
1ον Να παρατηρήσουμε ότι είναι άρτια εξίσωση με λύση το

και έτσι να περιοριστούμε στο διάστημα (0,5)

.
2ον Να δουλέψουμε ξεχωριστά στα διαστήματα $\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right ) , \left ( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right ) , \left ( \frac{3\pi }{2},5 \right )$ εκεί δηλαδή που αλλάζει πρόσημο το συνημίτονο .

Εναλλακτικά για το πρώτο διάστημα έχουμε πως $\sqrt{25-x^{2}}> 5-x^{2}> 5\cos x$ .
Η πρώτη ανάγεται στην x< 3

και η δεύτερη στην $\sin \left ( \frac{x}{2} \right )> \frac{x}{\sqrt{10}}$ που με τη σειρά της
προκύπτει από την ανισότητα $\sin y> \frac{2}{\pi }y , \forall y \in\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )$ και την εκτίμηση $\pi <\sqrt{10}$ .

Και ακόμη πιο σύντομα γράφοντας $\sqrt{25-x^{2}}= 5\cos x\Rightarrow \sin x=\frac{x}{5}$
και εφαρμόζοντας στη συνέχεια την ανισότητα $\sin y> \frac{2}{\pi }y$ στο εν λόγω διάστημα .

Ratio · #6

Αν κάναμε τις εξής αντικαταστάσεις

$x=5cos\theta\\$
$f(x)=\sqrt{25-x^2}=5sinx=5sin(5cos\theta)$

άρα

$5cosx=5sin(cos(\theta))\Leftrightarrow 5cos(5cos\theta) =5sin(5cos\theta)$ με $\theta \in(0,\pi)$
και αναζητούσαμε ρίζες αντίστοιχα στην τελευταία ;
Μια ιδέα

Stelios V8 · #7

Για

κάνοντας την αντικατάσταση $x=5\cos \theta$ με $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ φτάνουμε στην $\left | \sin \theta \right |=\sin\theta = \cos \left ( 5\cos \theta \right )$ .
Τώρα έχουμε πως $\cos \left ( 5\cos \theta \right )=\cos \left ( \frac{\pi }{2}-\theta \right )\Rightarrow 5\cos \theta=2\kappa \pi \pm \left ( \frac{\pi }{2}-\theta \right )$ .

$5\cos \theta +\theta =2\kappa \pi +\frac{\pi }{2} \left ( 1 \right )$ ή $5\cos \theta -\theta =2\kappa \pi -\frac{\pi }{2} \left ( 2 \right )$
Από αυτές μόνο η δεύτερη έχει λύση και μόνο για k=1

όπου και παίρνει τη μορφή $h\left ( \theta \right )= 5\cos \theta -\theta -\frac{3\pi }{2}= 0$
και η λύση είναι μοναδική .

mathematica.gr

Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Re: Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Re: Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Re: Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Re: Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Re: Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Re: Επαναληπτικό με ρυθμό μεταβολής

Μέλη σε σύνδεση