Ανισότητα με λογάριθμους

#1

Για τους θετικούς αριθμούς a,b,c

με

να δείξετε ότι:

$ab\ln{\dfrac{a}{b}}+bc\ln{\dfrac{b}{c}}<ac\ln{\dfrac{a}{c}}$

Αλέξανδρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

cretanman έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 03, 2020 1:09 pm
Για τους θετικούς αριθμούς με να δείξετε ότι:

$ab\ln{\dfrac{a}{b}}+bc\ln{\dfrac{b}{c}}<ac\ln{\dfrac{a}{c}}$

Αλέξανδρος

Θεωρούμε την
$f(x)=ax\ln{\dfrac{a}{x}}+xc\ln{\dfrac{x}{c}}-ac\ln{\dfrac{a}{c}}$
για
a<x<c

.

Είναι f(a)=f(c)=0

Επίσης

$f''(x)=\dfrac {1}{x}(c-a)>0$

Αρα η

είναι γνήσια κυρτή .Παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα από τα άκρα.

Αρα f(b)<0

#3

Σ' ευχαριστώ πολύ Σταύρο για την ενασχόληση (την ίδια ακριβώς λύση με τη δική σου έκανε και ο Θάνος Μάγκος όταν του την έστειλα το πρωί σε μήνυμα). Η άσκηση αυτή προέκυψε από εφαρμογή του ΘΜΤ στο [a,b]

και

για τη συνάρτηση $f(x)=x\ln{x}+x$ και μετά λίγες πράξεις.
Ο λόγος που την έβαλα ήταν γιατί αναρωτήθηκα αν υπήρχε λύση καθαρά αλγεβρική με ύλη έως Β Λυκείου χωρίς χρήση λογισμού και γιατί μου φάνηκε όμορφο και κομψό το αποτέλεσμα.

Αλέξανδρος

Ανισότητα με λογάριθμους

Ανισότητα με λογάριθμους

Re: Ανισότητα με λογάριθμους

Re: Ανισότητα με λογάριθμους

Μέλη σε σύνδεση