Σύγκλιση σειράς

#1

Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.$

Tolaso J Kos · #2

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.$

Η σειρά δε συγκλίνει απόλυτα καθώς $\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} \left( 1 - e^{-n} \right)=1 \neq 0$ . Ακριβώς για τον ίδιο λόγο η σειρά δε συγκλίνει ούτε υπό συνθήκη.

#3

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.$

Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, και το σωστό είναι $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{1/n})\,.$

Δεν γράφω λύση για να ασχοληθούν οι φοιτητές μας.

stranger · #4

Δεν συγκλίνει απόλυτα.
Έχουμε $e^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{n} +1$ .
Οπότε $\sum (e^{\frac{1}{n}} -1) > \sum \frac{1}{n}$ .
Άρα δεν συγκλίνει απόλυτα αφού η $\sum \frac{1}{n}$ αποκλίνει.

#5

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 08, 2020 6:41 am
Δεν συγκλίνει απόλυτα.
Έχουμε $e^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{n} +1$ .
Οπότε $\sum (e^{\frac{1}{n}} -1) > \sum \frac{1}{n}$ .
Άρα δεν συγκλίνει απόλυτα αφού η $\sum \frac{1}{n}$ αποκλίνει.

Σωστά αλλά, για να είμαστε απόλυτα ακριβείς, η άσκηση ζητά και την κατά συνθήκη σύγκλιση. Δεν λέω ότι
είναι δύσκολο, πάντως λείπει.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2020 11:11 pm

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.$
Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα,...

Μιχάλη,

δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, αλλά για το "προοίμιο" αυτής της σειράς

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)$
της οποίας ζητείται η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση (ή απόκλιση).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 08, 2020 12:13 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2020 11:11 pm

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.$
Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα,...
Μιχάλη,

δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, αλλά για το "προοίμιο" αυτής της σειράς

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)$
της οποίας ζητείται η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση (ή απόκλιση).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 08, 2020 2:57 pm
Οι όροι της δοσμένης σειράς έχουν σταθερό πρόσημο. Ετσι η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση είναι η ίδια. Κατά την γνώμη μου περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η σειρά
$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)$
ως προς την απλή και απόλυτη σύγκλιση.

Πράγματι οι όροι της σειράς $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)=\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_n$ (*) έχουν σταθερό (θετικό) πρόσημο αφού

$\begin{aligned} \log2+\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}&=\begin{cases} >0\,, & n=2m\\ <0\,,&n=2m-1 \end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} \exp\big(\log2+\textstyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}\big)&=\begin{cases} >1\,, & n=2m\\ <1\,,&n=2m-1 \end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} 2\,\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}\big)&=\begin{cases} >1\,, & n=2m\\ <1\,,&n=2m-1 \end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} 1-2\,\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}\big)&=\begin{cases} <0\,, & n=2m\\ >0\,,&n=2m-1 \end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} \alpha_n=(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)&>0\,. \end{aligned}$

(*) άλλαξε το (-1)^n

σε $(-1)^{n+1}$ ώστε η ακολουθία $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ να είναι θετικών όρων.

Υ.Γ. Πράγματι φαίνεται ότι η σύγκλιση της σειράς $\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)$ έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον.

#9

Παρατίθεται, σε συνέχεια της προηγούμενης δημοσίευσής μου, η ημιτελής λύση που έδωσα:

Η ακολουθία θετικών όρων $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα (για την μονοτονία έχω μια ημιτελή απόδειξη) και μηδενική.

Θα δείξουμε ότι $\lim(n\,\alpha_n)\neq0$ . Πράγματι, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει

$\begin{aligned} \log2+\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}&>\footnotemark\log\big(1+\tfrac{1}{20n}\big)>0\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \exp\big(\log2+\textstyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}}\big)&>\exp\big(\log\big(1+\tfrac{1}{20n}\big)\big)=1+\frac{1}{20n}\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} -1+2\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}}\big)&>-1+1+\frac{1}{20n}=\frac{1}{20n}\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \alpha_{2n}=(-1)^{2n+1}\Big(1-2\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}}\big)\Big)&>\frac{1}{20n}\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \lim_{n+\infty}(2n\,\alpha_{2n})&\geqslant\lim_{n+\infty}2n\,\frac{1}{20n}=\frac{1}{10}\,. \end{aligned}$

Επειδή $n\,\alpha_{n}>0$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , έπεται ότι $\lim(n\,\alpha_n)\neq0$ .

Από το θεώρημα Abel-Pringsheim προκύπτει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_n$ δεν συγκλίνει.

${}^1$ Απόδειξη;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Η δική μου απόδειξη για αυτές τις σειρές στηρίζεται

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θα το αφήσω λίγες μέρες και αν δεν γραφεί λύση θα γράψω.

Tolaso J Kos · #11

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 10, 2020 10:11 am
Υ.Γ. Πράγματι φαίνεται ότι η σύγκλιση της σειράς $\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)$ έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον.

Πράγματι η τεχνική που προτείνει ο Σταύρος είναι η πλέον ενδεδειγμένη. Μου είναι γνωστή από όλα θέμα με σειρά που περιέχει εκθετικό και αρμονικό όρο. Θα δείξουμε ότι αυτή η σειρά συγκλίνει. Από Taylor με υπόλοιπο έχουμε:

$\displaystyle{-\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} + (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, \mathrm{d}x}$
Όμως είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2n} + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n^2} \right )}$ ( κάνουμε την αντικατάσταση $x=e^{-t}$ και στη συνέχεια εφαρμόζουμε παράγοντες ). Άρα

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} = -\ln 2 + \frac{(-1)^n}{2n} + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n^2} \right )}$
Οπότε εκθετίζοντας και φτιάχνοντας τη μέσα ακολουθία έχουμε:

$\displaystyle{1- 2 \exp \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} \right ) = \frac{(-1)^n}{2n} + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n^2} \right )}$
Άρα η σειρά συγκλίνει.

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση