Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

[KARKAR]

Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 2662 φορές

Τα ζητούμενα της παρακάτω άσκησης είναι βασικά για ένα εγγεγραμμένο οξυγώνιο μη ισοσκελές τρίγωνο .

Το είναι το σημείο τομής των υψών , δηλαδή είναι το ορθόκεντρο του και

το τμήμα το απόστημα της πλευράς - χορδής .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το .

β) Δείξτε ότι .

γ) Δείξτε ότι .

δ) Δείξτε ότι .

ε) Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι το είναι σημείο του περικύκλου .

[george visvikis]

Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png Τα ζητούμενα της παρακάτω άσκησης είναι βασικά για ένα εγγεγραμμένο οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο .

Το είναι το σημείο τομής των υψών , δηλαδή είναι το ορθόκεντρο του και

το τμήμα το απόστημα της πλευράς - χορδής .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το .

β) Δείξτε ότι .

γ) Δείξτε ότι .

δ) Δείξτε ότι .

ε) Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι το είναι σημείο του περικύκλου .

Εγγ. τρίγωνο.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 2553 φορές

α) Το είναι εγγράψιμο, οπότε άρα τα τρίγωνα είναι όμοια.

β) Φέρνω τη διάμετρο Προφανώς το είναι παραλληλόγραμμο, άρα

γ) ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών

δ) άρα οι είναι συμπληρωματικές και

ε) οπότε το είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

[Mihalis_Lambrou]

δ) Δείξτε ότι .

Ας συμπληρώσω για χάρη των μαθητών μας ότι η ιδιότητα αυτή ονομάζεται "Θεώρρημα Nagel". Τα παλιά τα χρόνια το μάθαιναν όλοι οι υποψήφιοι στις Φυσικομαθηματικές και στις Πολυτεχνικές Σχολές. Ένας γρήγορος τρόπος απόδειξης είναι να φέρουμε την εφαπτομένη του περίκυκλου στο και να δείξουμε ότι είναι παράλληλη της . Είναι σχετικά απλό με χρήση χορδής και εφαπτομένης στο άκρο της.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

δ) Δείξτε ότι .

Ας συμπληρώσω για χάρη των μαθητών μας ότι η ιδιότητα αυτή ονομάζεται "Θεώρρημα Nagel". Τα παλιά τα χρόνια το μάθαιναν όλοι οι υποψήφιοι στις Φυσικομαθηματικές και στις Πολυτεχνικές Σχολές.

Προς επιβεβαίωση της παραπάνω δήλωσης του Μιχάλη Λάμπρου , σας παραπέμπω σε μια δημοσίευση , όπου σε ένα κακοδιατυπωμένο θέμα εισαγωγικών εξετάσεων του Ε.Μ.Π. του 1939 , υπάρχει λύση (και) με χρήση του Θεωρήματος Nagel.
viewtopic.php?f=22&t=59617&p=288771&hil ... A3#p288771

[george visvikis]

Να προσθέσω άλλες δύο ιδιότητες.

Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ένα σημείο βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου, αν και μόνο αν οι προβολές του πάνω στις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία συνευθειακά (ευθεία )