Πολυώνυμα

#1

Δίνονται τα πολυώνυμα:
$\displaystyle P(x) = {x^3} + 2(a - b){x^2} + ax + 15 - 2(a - b) - {b^2}$ και $\displaystyle Q(x) = {x^2} + (a - b)x + b - 2,$ $a,b\in\mathbb{Z}.$

Να βρείτε τις τιμές των a,b

αν γνωρίζετε ότι το Q(x)

είναι παράγοντας του P(x).

Στη συνέχεια λύστε την εξίσωση P(x)=0.

Μάρκος Βασίλης · #2

Από τον αλγόριθμο της Ευκλείδειας Διαίρεσης του

με το

βρίσκουμε:

$\displaystyle{P(x)=(x+a-b)Q(x)+(a-b+2-(a-b)^2)x-ab+15}$

Για να είναι το

παράγοντας του

πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{-(a-b)^2+(a-b)+2=0\, -ab+15=0.}$

Από τη δεύτερη παίρνουμε ab=15

και, δεδομένου ότι $a,b\in\mathbb{Z}$ έπεται ότι:

$\displaystyle{(a,b)\in\{(3,5),(5,3),(-3,-5),(-5,-3),(1,15),(-1,-15)\}.}$

Τώρα, το τριώνυμο -x^2+x+2

έχει ρίζες τις x=-1

και

επομένως από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε a-b=-1

ή

και οι μοναδικές τιμές των a,b

που ικανοποιούν τα παραπάνω είναι οι a=5,b=3

και

.

Για

έχουμε:

$\displaystyle{P(x)=(x+2)(x^2+2x-7)}$

με ρίζες x=-2

και $x=-1\pm\sqrt{8}$ , ενώ για (a,b)=(5,3)

έχουμε:

$\displaystyle{P(x)=(x+2)(x^2+2x+1),}$

με ρίζες x=-2

και

.

Edit: Παραλείψεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: Κυρ Μάιος 17, 2020 11:49 am Από τον αλγόριθμο της Ευκλείδειας Διαίρεσης του με το βρίσκουμε:

$\displaystyle{P(x)=(x+a-b)Q(x)+(a-b+2-(a-b)^2)x-ab+15}$

Για να είναι το παράγοντας του πρέπει να ισχύει:

$\displaystyle{-(a-b)^2+(a-b)+2=0\, -ab+15=0.}$

Από τη δεύτερη παίρνουμε και, δεδομένου ότι $a,b\in\mathbb{Z}$ έπεται ότι:

$\displaystyle{(a,b)\in\{(3,5),(5,3),(-3,-5),(-5,-3)\}.}$

Τώρα, το τριώνυμο έχει ρίζες τις και επομένως από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε ή και οι μοναδικές τιμές των που ικανοποιούν τα παραπάνω είναι οι και .

Για έχουμε:

$\displaystyle{P(x)=(x+2)(x^2-2x+3)}$

με μοναδική ρίζα το , ενώ για έχουμε:

$\displaystyle{P(x)=(x+2)(x^2-2x-5),}$

με ρίζες και $x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=1\pm\sqrt{6}$

Μάρκος Βασίλης έγραψε: Κυρ Μάιος 17, 2020 11:49 am
Από τη δεύτερη παίρνουμε και, δεδομένου ότι $a,b\in\mathbb{Z}$ έπεται ότι:

$\displaystyle{(a,b)\in\{(3,5),(5,3),(-3,-5),(-5,-3)\}.}$

Γιατί αποκλείονται π.χ (1,15)

Μάρκος Βασίλης έγραψε: Κυρ Μάιος 17, 2020 11:49 am Τώρα, το τριώνυμο έχει ρίζες τις και

υπάρχει τυπογραφικό.
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι x=-1

και

Μάρκος Βασίλης · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Μάιος 17, 2020 12:49 pm Γιατί αποκλείονται π.χ

υπάρχει τυπογραφικό.
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι και

Ναι, έχετε δίκιο, παραλείψεις και τα δύο, τα διόρθωσα.

Ευχαριστώ!

Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Re: Πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση