Καθετότητα επι κύκλου

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #1

Με αφορμή την άσκηση του κ.Νίκου εδώ.

: Καθετότητα επι κύκλου.png (33.37 KiB) Προβλήθηκε 1364 φορές

Έστω oι κύκλοι (O)

και

, με διαμέτρους AC=3k

και

αντίστοιχα.

Θέτω

την μία τομή των κύκλων και $S\equiv DE\cap(O)$ . Απο το

φέρω την εφαπτόμενη

του

.

Aν

είναι το αντιδιαμετρικό του

και $N\equiv S'T\cap AC$ , να δείξετε ότι οι

και

τέμνονται κάθετα πάνω στον (C)

.

#2

Πρώτα –πρώτα ας είναι

το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων και

το κέντρο του μεγάλου .

: Διπλή επαφή_προέκταση θεοδόση_a.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 1272 φορές

Φέρνω την

που τέμνει το μικρό κύκλο στο

και την

στο

.

Είναι η

διχοτόμος της $\widehat {FSE}$ , τα τρίγωνα $SCF\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SCD$ ίσα , οι $\overline {FCT} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,DJ$

Είναι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου SFD

, οπότε :

$\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Επί πλέον δε η τετράδα $\left( {A,C\backslash J,D} \right)$ είναι αρμονική και

Έτσι τελικά αβίαστα υπολογίζονται : $\boxed{\frac{{JC}}{{JO}} = \frac{2}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\frac{{BJ}}{{JC}} = \frac{2}{3}}$ $\left( 2 \right)$

Πάμε τώρα στην εκφώνηση .

: Διπλή επαφή_προέκταση θεοδόση.png (32.68 KiB) Προβλήθηκε 1275 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα $OS'N\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CTN$ έχω: $\boxed{\frac{{NC}}{{NO}} = \frac{2}{3}}\,\,\,\left( 3 \right)$ δηλαδή το $N \equiv J$ και η $\overline {SNF} \equiv \overline {SJF}$

Επειδή ακόμη και η τετράδα $\left( {A,N\backslash B,C} \right)$ είναι αρμονική $\left( {\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}} \right)$

Θα είναι $AG \bot GN$ ενώ $TG \bot GF$ γιατί η $\widehat {FGT} = 90^\circ$ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο .

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Κύριε Νίκο ευχαριστώ για την λύση σας

Γράφω την δική μου σκέψη:
Έστω

και

οι τομές της

με τον

Το

είναι εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των (O)

και

, έτσι τα

και

θα είναι αντιδιαμετρικά (ως εικόνες των

και

αντίστοιχα) κι επομένως $\widehat{FGT}=90^{\circ}.$
Έστω τώρα $P\equiv AD\cap ST$ . Απο γνωστή πρόταση είναι $(O,C,N,P)=-1\Leftrightarrow S(O,C,N,P)=-1$ . Είναι ακόμη $BO\cdot BP=SB^{2}=BC\cdot BA$ , που είναι η σχέση Mac Laurin, επομένως (A,C,B,P)=-1

. Οι αρμονικές δέσμες S(O,C,N,P)

και

έχουν $TP\perp SO,TC\perp SO,TB\perp SC,$ άρα θα είναι και $TA\perp SN$ .Η απόδειξη τώρα ολοκληρώθηκε.

: Καθετότητα επι κύκλου.png (55.61 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

Καθετότητα επι κύκλου

Καθετότητα επι κύκλου

Re: Καθετότητα επι κύκλου

Re: Καθετότητα επι κύκλου

Μέλη σε σύνδεση