Ελάχιστη εφαπτομένη

#1

: Ελάχιστη εφαπτομένη...png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 1575 φορές

Το ορθόκεντρο

τριγώνου

είναι μέσο του ύψους AD.

α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η $\displaystyle \tan A$

β) Αν $\displaystyle \tan A = 3,$ να δείξετε ότι μία από τις άλλες δύο γωνίες είναι $45^\circ.$

KARKAR · #2

Μπορεί να σας φανεί χρήσιμη η λύση του κ. Βισβίκη εδώ .

#3

george visvikis έγραψε: Δευ Ιουν 01, 2020 4:52 pm Ελάχιστη εφαπτομένη...png
Το ορθόκεντρο τριγώνου είναι μέσο του ύψους α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η $\displaystyle \tan A$

β) Αν $\displaystyle \tan A = 3,$ να δείξετε ότι μία από τις άλλες δύο γωνίες είναι $45^\circ.$

: Ελάχιστη εφαπτομένη.png (32.36 KiB) Προβλήθηκε 1519 φορές

α) Θεωρώ οριζόντια ευθεία , σημείο της

και κάθετο τμήμα $DA = 2\,\,$ και το μέσο του

.

Γράφω κύκλο που διέρχεται από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ , εφάπτεται δε στην οριζόντια ευθεία στο σημείο

.

Φέρνω από το

κάθετη στη

και τέμνονται στο

. Οι ευθείες $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ τέμνονται στο

.

Το σημείο

βλέπει το

με τη μεγαλύτερη δυνατή γωνία $\theta$ αφού για οποιοδήποτε άλλο σημείο ${B_1}$ της οριζόντια ευθεία η γωνία ${\theta _1} < \theta$ .

Συνεπώς θα έχω $\tan A\,\,$ ελάχιστη .

Αν BD = d

από την ομοιότητα των $\vartriangle EAH\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DHB$ αν HE = k

θα είναι

.

Θα ισχύουν ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} D{B^2} = DH \cdot DA \hfill \\ B{H^2} = D{B^2} + D{H^2} \hfill \\ E{A^2} + E{H^2} = A{H^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} d = \sqrt 2 \hfill \\ BH = \sqrt 3 \hfill \\ 3{k^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} d = \sqrt 2 \hfill \\ BH = \sqrt 3 \hfill \\ k = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα : $\tan A = \dfrac{{BE}}{{AE}} = \dfrac{{BH + HE}}{{AE}} = \dfrac{{\sqrt 3 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = 2\sqrt 2$

: Ελάχιστη εφαπτομένη_2ο σκέλος.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 1519 φορές

β) Ας είναι

η προβολή του

στη

. Θέτω

και θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} B{M^2} = B{D^2} - D{M^2} \hfill \\ A{H^2} = E{M^2} + E{A^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {d^2} - {d^2}{k^2} \hfill \\ 1 = {k^2} + {k^2}{d^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {d^2}\left( {1 - {k^2}} \right) \hfill \\ 1 - {k^2} = {k^2}{d^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Άρα : $x = {d^2}k$ , οπότε : $\tan A = 3 \Rightarrow \dfrac{{x + 2k}}{{dk}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{{d^2}k + 2k}}{{dk}} = 3 \Rightarrow {d^2} - 3d + 2 = 0$

Δηλαδή $\boxed{d = 1} \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {{C_{}}} = 45^\circ$ .

#4

Διαφορετικά. Έστω

το δεύτερο σημείο τομής του ύψους

με τον περιγεγραμμένο κύκλο. Είναι $DE=\dfrac{AD}{2}.$

: Ελάχιστη εφαπτομένη.Ι..png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 1470 φορές

α) $\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot DE = \frac{{A{D^2}}}{2} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{DC}} = 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan B\tan C = 2}$ (1)

$\displaystyle \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \tan A = \tan B + \tan C \ge 2\sqrt {\tan B\tan C} = 2\sqrt 2$

Άρα $\boxed{{(\tan A)_{\min }} = 2\sqrt 2}$ όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές $\boxed{\widehat B=\widehat C}$

β) $\displaystyle \tan {\rm B} + \tan C = 3$ και από την (1)

οι $\displaystyle \tan {\rm B}, \tan C$ είναι ρίζες της εξίσωσης x^2-3x+2=0.

Επομένως μία από τις δύο παίρνει την τιμή

και το ζητούμενο έπεται.

Ελάχιστη εφαπτομένη

Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Re: Ελάχιστη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση