όριο

#1

Να βρεθεί (γρήγορα) το $\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n!)}{n}$ .

έως και 14/6/20

stamas1 · #2

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{lnx!}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln\Gamma (x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{\Gamma'(x+1)}}{\Gamma(x+1) }=\Psi (x+1)=-\gamma + \sum_{k=1}^{\infty }\big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\big)=\infty$ Δεν ξερω αν ειναι σωστο

llenny · #3

Μπορούν να απαντήσουν και μαθητές λυκείου στο φάκελο αυτό;

stamas1 · #4

εγω γ λυκειου ειμαι

llenny · #5

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά άμα πάμε με τον ορισμό του παραγοντικού και γράψουμε το λογάριθμο ως άθροισμα λογαρίθμων και έπειτα εφαρμόσουμε DLH σε κάθε κλάσμα, δε μηδενίζουν όλα;

stamas1 · #6

ο καθηγητης μου στο σχολιο μου εχει πει οταν ειναι 0/0 ή απειρο δια απειρο το κλασμα πρεπει να το σπας ετσι ωστε να διατηρειται η απροσδιοριστια σε καθε κλασμα /Αρα νομιζω πως δεν μπορεις να το κανεις αυτο

Tolaso J Kos · #7

stamas1 έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2020 4:46 pm $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{lnx!}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln\Gamma (x+1)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{\Gamma'(x+1)}}{\Gamma(x+1) }=\Psi (x+1)=-\gamma + \sum_{k=1}^{\infty }\big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\big)=\infty$ Δεν ξερω αν ειναι σωστο

Με κάποιες διορθώσεις και με τη σωστή δικαιολόγηση γιατί:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+x} \right) = +\infty}$
η απόδειξη θα είναι ολοκληρωμένη.

mick7 · #8

Ισχυει

$\displaystyle n!\geq (\frac{n}{e})^{n}$

Λογαριθμιζοντας παιρνουμε

$\displaystyle log(n!)\geq nlogn-n$

η

$\displastyle \frac{log(n!)}{n}\geq logn-1$

Απο αυτην προκυπτει οτι το οριο ειναι +απειρο

Tolaso J Kos · #9

Η δική μου λύση πάει ως εξής:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#10

Μα το θέμα είναι να αποδειχθεί με απλά εργαλεία. Οι συναρτήσεις $\Gamma,\Psi$ , προσεγγίσεις Stirling κ.τ.λ. είναι πολύ ισχυρότερα εργαλεία που κάνουν το ζητούμενο τετριμμένο.

Δεν σημαίνει πως είναι λάθος να χρησιμοποιηθούν. Το ζητούμενο όμως μπορεί να αποδειχθεί με απλούστερους τρόπους. Ακόμη και με σχολικό τρόπο.

#11

Νομίζω ότι οι παραπάνω λύσεις ξέφυγαν κατά πολύ. Κάνουν τα εύκολα, δύσκολα. Σωστά επισημαίνει
ο Δημήτρης το

Demetres έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2020 5:52 pm Το ζητούμενο όμως μπορεί να αποδειχθεί με απλούστερους τρόπους. Ακόμη και με σχολικό τρόπο.

Υπόδειξη αν και νομίζω ότι είναι περιττή για τόσο απλή άσκηση,
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λάμπρος Κατσάπας · #12

Λάμπρος Κατσάπας · #13

llenny έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2020 5:25 pm Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά άμα πάμε με τον ορισμό του παραγοντικού και γράψουμε το λογάριθμο ως άθροισμα λογαρίθμων και έπειτα εφαρμόσουμε DLH σε κάθε κλάσμα, δε μηδενίζουν όλα;

Κλασικό λάθος. Το άθροισμα των προσθετέων δεν είναι σταθερό αλλά μεταβαλλόμενο.

#14

stamas1 έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2020 4:46 pm $...=-\gamma + \sum_{k=1}^{\infty }\big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+x}\big)=\infty$ Δεν ξερω αν ειναι σωστο

Όχι δεν είναι σωστό. Κάτι άλλο εννοείς.

Όπως είναι γραμμένο το παραπάνω φαίνεται να υπάρχει ο ισχυρισμός ότι η σειρά $\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+x} \right)$ αποκλίνει για θετικά

. Να όμως που συγκλίνει καθώς ο γενικός όρος ικανοποιεί

$\displaystyle{0\le \frac{1}{k} - \frac{1}{k+x} = \frac {x}{k(k+x)} \le \frac {x}{k^2}}$ και η σειρά $\sum \frac {1}{k^2}$ συγκλίνει. Άρα συγκλίνει και η αρχική από το κριτήριο σύγκρισης.

Το σφάλμα διορθώνεται (σου έκανε μία νύξη ο Τόλης) αλλά, πέρα από αυτά, η μέθοδος που ακολουθείς ξεφεύγει για μία τόσο απλή άσκηση.

stamas1 · #15

Οπως ειπα και πριν ειμαι μαθητης της γ λυκειου και απλα εχω διαβασει μερικα πραγματα για πολυ γνωστες συναρτησεις και ο μονος τροπος που θα μπορουσα να το ελυνα με τις γνωσεις που εχω ειναι αυτος.Αμα υπαρχει τροπος να λυθει και με γνωσεις γ λυκειου ας κοινοποιηση καποιος μια λυση

#16

stamas1 έγραψε: Σάβ Ιουν 13, 2020 9:10 pm Οπως ειπα και πριν ειμαι μαθητης της γ λυκειου και απλα εχω διαβασει μερικα πραγματα για πολυ γνωστες συναρτησεις και ο μονος τροπος που θα μπορουσα να το ελυνα με τις γνωσεις που εχω ειναι αυτος.Αμα υπαρχει τροπος να λυθει και με γνωσεις γ λυκειου ας κοινοποιηση καποιος μια λυση

Δίνω μια υπόδειξη. Έχει κάνει μια αναφορά και ο Μιχάλης πιο πάνω σε παρόμοιο μήκος κύματος.

Δείξε ότι $\log{(n!)} \geqslant \frac{n}{2} \log{(\frac{n}{2})}$ .

#17

Μετά τα όσα εγράφησαν παραπάνω δεν έχω να προσθέσω τι παρά το ότι συνέβη το εξής "παράδοξο" : Ξεκινώντας από έναν μαθητή λυκείου και καταλήγοντας σε δυο ακαδημαϊκούς, οι προταθείσες λύσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες όσον αφορά τα στοιχειώδη μαθηματικά που χρησιμοποιήθηκαν!

όριο

όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Μέλη σε σύνδεση