Εξίσωση

mick7 · #1

Να λυθεί στο $\displaystyle (0,+\infty)$ η

$\displaystyle (lnx)^2+(1+x^2)(lnx)+2x^2-2=0$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 10, 2020 2:40 pm
Να λυθεί στο $\displaystyle (0,+\infty)$ η

$\displaystyle (lnx)^2+(1+x^2)(lnx)+2x^2-2=0$

Είναι οι $x=e^{-2}$ και x=1.

Θεωρώντας το αριστερό μέλος σαν τριώνυμο ως προς $\ln x$ βρίσκουμε $\Delta =(x^2-3)^2$ και οδηγούμαστε στις

$\ln x=-2$ και $\ln x=1-x^2$ . H πρώτη μας δίνει $x=e^{-2}$ ενώ η δεύτερη μας δίνει μοναδική ρίζα την x=1

αφού η παράγωγος της $\ln x-1+x^2$ είναι θετική στο $(0,+\infty).$

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 10, 2020 2:40 pm
Να λυθεί στο $\displaystyle (0,+\infty)$ η

$\displaystyle (lnx)^2+(1+x^2)(lnx)+2x^2-2=0$

Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {(\ln x)^2} + \ln x - 2 + {x^2}\ln x + 2{x^2} = (\ln x - 1)(\ln x + 2) + {x^2}(\ln x + 2)$

απ' όπου $\displaystyle (\ln x + 2)(\ln x + {x^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 0 \vee \ln x + x^2-1 = 0$

Η πρώτη έχει λύση $\boxed{x = \frac{1}{{{e^2}}}}$ και η δεύτερη μηδενίζεται για $\boxed{x=1}$ και δεν μπορεί να έχει άλλη ρίζα γιατί

Αν $\displaystyle x > 1 \Rightarrow \ln x > 0,{x^2} - 1 > 0 \Rightarrow \ln x + {x^2} - 1 > 0,$

ενώ αν $\displaystyle 0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0,{x^2} - 1 < 0 \Rightarrow \ln x + {x^2} - 1 < 0$

mick7 · #4

Πηγή

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση