Διοφαντική!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Διοφαντική!
Διαβάζοντας σήμερα ένα βιβλίο, έπεσα σε μια διοφαντική, η οποία βλέπω ότι είναι λυμένη λάθος. Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω "όμορφη" λύση, οπότε σας την παραδίδω.
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Διοφαντική!
Καλησπέρα!
Αν και δεν θα έλεγα πως η λύση μου είναι κομψή
Προφανώς κάθε ζεύγος είναι λύση.Έστω τώρα
Για είναι οπότε μέχρι τώρα λύσεις οι .Θεωρούμε
Η αρχική γράφεται .
Πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο ,έστω .
Ως γνωστών θα είναι και ή με .
Χωρίζουμε περιπτώσεις:
- και
Η επί μείον την δίνει .
Πρέπει οπότε .
Ελέγχουμε με το χέρι....- Για πρέπει άτοπο.
- Για πρέπει που έπεται ότι .Επειδή είναι τα τετραγωνικά υπόλοιπα βρίσκουμε ότι τότε όμως άτοπο.
- Για πρέπει .Αυτό είναι άτοπο αφού
- Για είναι άτοπο.
- Για είναι εύκολα άτοπο.
- Για είναι πάλι άτοπο.
- Για άτοπο και για πρέπει που με αντικατάσταση στην δίνουν άτοπο.
- και
Η γίνεται που με αντικατάσταση στην δίνει από όπου έχουμε πως- Για πρέπει .Πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο ,έστω που όπως πριν καταλήγει σε άτοπο(θα είναι ).
- Για πρέπει Η διακρίνουσα είναι άτοπο.
- Για πρέπει με διακρίνουσα(γράφουμε ως τριώνυμο του ) που εύκολα βλέπουμε δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.
- Για πρέπει με διακρίνουσα .Για δίνει άτοπο και για δίνει ενώ για δίνει άτοπο
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: Διοφαντική!
Άλλη μια λύση και από μένα, με επιφύλαξη λόγω του περασμένου της ώρας.
Στην αρχή αποδεικνύουμε το ακόλουθο (γνωστό) λήμμα:
Λήμμα:
Αν πρώτος , τότε .
Απόδειξη:
Γράφουμε . Παρακάτω όλες οι ισότητες είναι ισοτιμίες . Ας είναι . Τότε, σαφώς, είναι και .
Επειδή θα είναι . Το μικρό θεώρημα του Fermat εξασφαλίζει ότι , οπότε αφού είναι και τα δύο μη μηδενικά, κατά προφανή τρόπο θα έχουμε . Αφού , θα είναι (λόγω της σχέσης του λήμματος) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Πίσω στη λύση της άσκησης, επειδή , και επειδή είναι και οι δύο πρώτοι , αν θα έχουμε
. Γράφοντας τώρα και θα έχουμε να λύσουμε τη διοφαντική
, η οποία έχει λύσεις (εκτός της μηδενικής που περιλαμβάνεται στο αρχικό σετ λύσεων) τις . Αυτό διαπιστώνεται εύκολα παίρνοντας τις πολύ λίγες και τετριμμένες περιπτώσεις.
Έτσι, οι λύσεις είναι πράγματι αυτές που αναφέρει ο Πρόδρομος.
Στην αρχή αποδεικνύουμε το ακόλουθο (γνωστό) λήμμα:
Λήμμα:
Αν πρώτος , τότε .
Απόδειξη:
Γράφουμε . Παρακάτω όλες οι ισότητες είναι ισοτιμίες . Ας είναι . Τότε, σαφώς, είναι και .
Επειδή θα είναι . Το μικρό θεώρημα του Fermat εξασφαλίζει ότι , οπότε αφού είναι και τα δύο μη μηδενικά, κατά προφανή τρόπο θα έχουμε . Αφού , θα είναι (λόγω της σχέσης του λήμματος) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Πίσω στη λύση της άσκησης, επειδή , και επειδή είναι και οι δύο πρώτοι , αν θα έχουμε
. Γράφοντας τώρα και θα έχουμε να λύσουμε τη διοφαντική
, η οποία έχει λύσεις (εκτός της μηδενικής που περιλαμβάνεται στο αρχικό σετ λύσεων) τις . Αυτό διαπιστώνεται εύκολα παίρνοντας τις πολύ λίγες και τετριμμένες περιπτώσεις.
Έτσι, οι λύσεις είναι πράγματι αυτές που αναφέρει ο Πρόδρομος.
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική!
Ας λυθεί και η .
Άλλη φορά να διαβάζω πιο προσεκτικά την άσκηση. Προειδοποιώ ότι οι λύσεις πέραν των προφανών είναι μεν πεπερασμένες αλλά αρκετές.
Άλλη φορά να διαβάζω πιο προσεκτικά την άσκηση. Προειδοποιώ ότι οι λύσεις πέραν των προφανών είναι μεν πεπερασμένες αλλά αρκετές.
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Διοφαντική!
Καλημέρα σε όλους!! Τώρα που ξεμπερδέψαμε με τις πανελλήνιες ήθελα να ρωτήσω... Υπάρχει περίπτωση το πρόβλημα να λύνετε με vieta jumping ;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες