Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω πολυώνυμο. Ἂν ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου

$\displaystyle{ p''(x)-3p'(x)+p(x) }$

εἶναι μιγαδικές, τότε καὶ ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου εἶναι μιγαδικές.

#2

Φαντάζομαι το p(x)

έχει πραγματικούς συντελεστές. Αλλιώς το p(x) = x(x+i)

είναι αντιπαράδειγμα.

Από συνέχεια μπορούμε να υποθέσουμε ότι p''(x) - 3p'(x) + p(x) > 0

για κάθε

. Αλλιώς εργαζόμαστε με το πολυώνυμο q(x) = -p(x)

.

Έστω $\lambda = -\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ . Το $\lambda$ ικανοποιεί την εξίσωση $\lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = (p'(x) + \lambda p(x))e^{x/\lambda}$ . Τότε

$\displaystyle f'(x) = \left(p''(x) + \left(\lambda + \frac{1}{\lambda}\right) p'(x) + p(x)\right)e^{x/\lambda} = \left(p''(x) -3p'(x) + p(x)\right)e^{x/\lambda}$

Τότε f'(x) > 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Επίσης είναι $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.$ Από αυτά τα δύο παίρνουμε ότι f(x) < 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ από το οποίο προκύπτει και ότι $p'(x) + \lambda p(x) < 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Τώρα εργαζόμαστε με την $g(x) = p(x)e^{\lambda x}$ . Παίρνουμε $g'(x) =(p'(x) + \lambda p(x) )e^{\lambda x}$ . Είναι g'(x) < 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x) = 0.$ Άρα g(x) > 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ από το οποίο προκύπτει το ζητούμενο.

#3

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2020 2:10 pm ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω πολυώνυμο. Ἂν ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου

$\displaystyle{ p''(x)-3p'(x)+p(x) }$

εἶναι μιγαδικές, τότε καὶ ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου εἶναι μιγαδικές.

Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι τα πολυώνυμα περιττού βαθμού (με πραγματικούς συντελεστές) έχουν τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.

Αφού το p''(x)-3p'(x)+p(x)

έχει μόνο μιγαδικές ρίζες, είναι άρτιου βαθμού. Άρα και το

, το οποίο βέβαια έχει τον ίδιο βαθμό με το προηγούμενο, είναι άρτιου βαθμού.

Πηγαίνοντας για άτοπο, έστω ότι το

έχει πραγματική ρίζα. Άρα, ως άρτιου βαθμού, θα έχει και δεύτερη πραγματική ρίζα (μετράω και τις πολλαπλότητες), οπότε για κάθε $0\ne a \in \mathbb R$ το $p(x)e^{ax}$ έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. Από Rolle το $(p(x)e^{ax})΄$ , δηλαδή το $(p'(x)+ap(x))e^{ax}$ , έχει πραγματική ρίζα, οπότε το

έχει πραγματική ρίζα.

Το p'(x)+ap(x)

ως άρτιου βαθμού, θα έχει και δεύτερη πραγματική ρίζα, οπότε για κάθε $0\ne b \in \mathbb R$ το $(p'(x)+ap(x))e^{bx}$ έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. Από Rolle το

$((p'(x)+ap(x))e^{bx})΄$ , δηλαδή το $(p''(x)+(a+b)p'(x)+abp(x))e^{bx}$ , έχει πραγματική ρίζα, οπότε το p''(x) +(a+b)p'(x)+abp(x)

έχει πραγματική ρίζα. Επιλέγοντας ως a,b

τους πραγματικούς με $a+b=-3,\,ab=1$ , το προηγούμενο δίνει ότι το p''(x) -3p'(x)+p(x)

έχει πραγματική ρίζα. Άτοπο.

Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Re: Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Re: Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Μέλη σε σύνδεση