Να απλοποιηθεί

Eukleidis · #1

Μια καλή άσκηση για τους Juniors.
$\displaystyle{A = \frac{{{1^4} + {{2007}^4} + {{2008}^4}}}{{{1^2} + {{2007}^2} + {{2008}^2}}}}$

ξαροπ · #2

Έστω $2007^2 = m \Leftrightarrow 2007^4 = m^2$ , τότε και

$2008^2 = (\sqrt{m}+1)^2 = m + 2\sqrt{m} + 1 \Leftrightarrow 2008^4 = (m+2\sqrt{m}+1)^2 = m^2 + 4m\sqrt{m} + 4\sqrt{m} + 6m + 1$ .

Τότε η παράσταση γίνεται $A = \frac{1^4+m^2+ m^2 + 4m\sqrt{m} + 4\sqrt{m} + 6m + 1}{1^2 + m + 2\sqrt{m} +1}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1+m^2 + 2m\sqrt{m} + 2\sqrt{m} + 3m}{1+m+\sqrt{m}}$ .

Παρατηρώντας ότι $(1+m + \sqrt{m})^2 = 1 + 3m + m^2 + 2m\sqrt{m} + 2\sqrt{m}$ , λαμβάνουμε $A = \frac{ (1+m + \sqrt{m})^2}{1+m+\sqrt{m}} = 1 + m + \sqrt{m} = 1 + 2007^2 + 2007 = 2008 + 2007^2$ .

ΥΓ. Καλή επιτυχία και καλή διασκέδαση σε όλους τους συμμετέχοντες αύριο!

Να απλοποιηθεί

Να απλοποιηθεί

Re: Να απλοποιηθεί

Μέλη σε σύνδεση