Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

#1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c

. Να δειχθεί ότι $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 5:13 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$ .

Από Cauchy-Schwarz έχουμε $\rm (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2 \Leftrightarrow$
$\rm \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \left | ab+bc+ac \right |\geq ab+bc+ac$

Η ισότητα όταν $\rm \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\Leftrightarrow a=b=c$

Pantelis.N · #3

Από Cauchy-Schwarz σε μορφή Andreescu είναι $\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{3}=ab+bc+ca$

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Μέλη σε σύνδεση