Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

#1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί a,b,c

ώστε $a,b,c \geqslant 0$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί ώστε $a,b,c \geqslant 0$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$

Αποσύρω λόγω σφάλματος...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 6:54 pm

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί ώστε $a,b,c \geqslant 0$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα που αφορά τις τετραγωνικές ρίζες είναι

$\sqrt{b(a+c)}{\cdot }\sqrt{c(a+b)}{\cdot }\sqrt{a(b+c)}\leqslant \sqrt{a+b+c}{\cdot }\sqrt{2(a+b+c)}=\sqrt{2}(a+b+c)$

Δημήτρη για ξανά κοίταξε αυτά που έχεις γράψει.

Filippos Athos · #4

Demetres έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί ώστε $a,b,c \geqslant 0$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$

Καλημέρα,

Από Cauchy-Schwarz

$[(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)]\cdot(1+1+1)\geq (\sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab})^{2}$

Δηλαδή $2\cdot (ab+bc+ca)\cdot 3\geq (\sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab})^{2}$ $\Rightarrow$

$\sqrt{6\cdot (ab+bc+ca)}\geq \sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab}$

Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι $\sqrt{2} (a+b+c)\geq \sqrt{6\cdot (ab+bc+ca)}\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3\cdot (ab+bc+ca)$
που ισχύει απο γνωστή ανισότητα.(*)

(*) Για περαιτέρω εξήγηση,προκύπτει $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ . Από εδώ υπάρχουν αρκετοί τρόποι να συνεχίσυμε.Εγώ θα δώσω τους βασκούς.
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 73&t=67428

Από Cauchy-Schwarz

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot (b^{2}+c^{2}+a^{2})\geq (ab+bc+ca)^{2}$

Απο Euler

$a^{2}+b^{2}+c^{2}- (ab+bc+ca)=\frac{1}{2}\cdot [(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\geq 0$

Ισότητα όταν a=b=c

#5

Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση:

$\displaystyle 2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2$

Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι $a,b,c \geqslant 0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 12:42 pm
Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση:

$\displaystyle 2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2$

Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι $a,b,c \geqslant 0$ .

Την έκανε ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Μόνο που στην ανάρτηση του αντί άθροισμα στο πρώτο μέλος πήρε γινόμενο.
Την ανάρτηση που μετά απέσυρε την εχω παραπάνω.

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Μέλη σε σύνδεση