Μέγιστο με περιορισμούς

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τους πραγματικούς
$a_{i},i=1,2,...,n$
$b_{i},i=1,2,...,n$
$c_{i},i=1,2,...,n$
όπου
$n\in \mathbb{N},n\geq 2$

Αν
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$

$K_{1},K_{2},K_{3}>0$

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$

giannisd · #2

Χάνω κάτι;
Από Holder:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4}}}$

Ισότητα ισχύει όταν: $ka_i^2 = \ell b_i^2 = mb_i^2c_i^4 \,\forall i$ για θετικές σταθερές $k,\ell,m$ . Ενδεικτικά έχουμε ισότητα, όταν όλα τα a_i>0

είναι ίσα, τα b_i>0

είναι ίσα, τα c_i>0

είναι ίσα.

Edit: Έβαλα και την ισότητα, ευχαριστώ για την επισήμανση.

miltosk · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
$a_{i},i=1,2,...,n$
$b_{i},i=1,2,...,n$
$c_{i},i=1,2,...,n$
όπου
$n\in \mathbb{N},n\geq 2$

Αν
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$

$K_{1},K_{2},K_{3}>0$

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$

AM-GM $2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i$
Αθροίζοντας: $\frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
Η ισότητα στην τελευταία για $c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i$ , με b_i>0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
$a_{i},i=1,2,...,n$
$b_{i},i=1,2,...,n$
$c_{i},i=1,2,...,n$
όπου
$n\in \mathbb{N},n\geq 2$

Αν
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$

$K_{1},K_{2},K_{3}>0$

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
AM-GM $2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i$
Αθροίζοντας: $\frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
Η ισότητα στην τελευταία για $c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i$ , με .

Το μέγιστο ποιο είναι;
Επίσης τα $K_{1},K_{2},K_{3}$ είναι οποιαδήποτε .
Αν c_i=1

τότε $K_{2}=K_{3}$
δεν είναι στις υποθέσεις.

miltosk · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:23 pm

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
$a_{i},i=1,2,...,n$
$b_{i},i=1,2,...,n$
$c_{i},i=1,2,...,n$
όπου
$n\in \mathbb{N},n\geq 2$

Αν
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$

$K_{1},K_{2},K_{3}>0$

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
AM-GM $2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i$
Αθροίζοντας: $\frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
Η ισότητα στην τελευταία για $c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i$ , με .
Το μέγιστο ποιο είναι;

Το $\frac{2K_1+K_2+K_3}{4}$ . Τα a_i,b_i,c_i

δεν θεωρούνται μεταβλητά και τα K_i

σταθερά;
Νομίζω στην περίπτωση ισότητας, ταυτίζεται με αυτό που δίνει ο giannisd πιο πάνω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:30 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:23 pm

miltosk έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:00 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Θεωρούμε τους πραγματικούς
$a_{i},i=1,2,...,n$
$b_{i},i=1,2,...,n$
$c_{i},i=1,2,...,n$
όπου
$n\in \mathbb{N},n\geq 2$

Αν
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$

$K_{1},K_{2},K_{3}>0$

να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
AM-GM $2a_i^2+b_i^2+b_i^2c_i^4\geq 4 \sqrt [4]{a_i^4b_i^4c_i^4}=4|a_ib_ic_i|\geq 4a_ib_ic_i$
Αθροίζοντας: $\frac{2K_1+K_2+K_3}{4}\geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_{i}c_i$
Η ισότητα στην τελευταία για $c_i=1,a_i=\sqrt{\frac{b_i^2}{2}},b_i$ , με .
Το μέγιστο ποιο είναι;
Το $\frac{2K_1+K_2+K_3}{4}$ . Τα δεν θεωρούνται μεταβλητά και τα σταθερά;
Νομίζω στην περίπτωση ισότητας, ταυτίζεται με αυτό που δίνει ο giannisd πιο πάνω.

Οχι δεν ταυτίζονται .
Ο giannisd εχει ισότητα όταν όλα τα a_i

είναι ίσα ,όλα τα b_i

είναι ίσα και όλα τα c_i

είναι ίσα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

giannisd έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 7:25 pm
Χάνω κάτι;
Από Holder:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4}}}$

Τίποτα δεν χάνεις.
Απλά είσαι πολύ σύντομος.
Προηγουμένως λόγω μεγέθους ουτε καν είδα την δημοσιευσή σου.
Το μόνο που λείπει είναι γιατί υπάρχει η ισότητα.
Βέβαια είναι πανεύκολο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Για να δούμε πως μπορούμε να αποφύγουμε την Holder
χρησιμοποιώντας μόνο C-S.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα a_i,b_i,c_i

μη αρνητικά.
Γράφοντας
$a_ib_ic_i=(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}c_i$
η C-S δίνει
$\displaystyle \sum a_ib_ic_i\leq (\sum a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(\sum a_ib_ic_i^{2})^{\frac{1}{2}}$ (1)
ξανα εφαρμόζοντας C-S
έχουμε
$\displaystyle \sum a_ib_i\leq (\sum a_i^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum b_i^{2})^{\frac{1}{2}}$ (2)

$\displaystyle (\sum a_ib_ic_i^{2})\leq (\sum a_i^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum b_i^{2}c_{i}^{4})^{\frac{1}{2}}$ (3)

Αν αντικαταστήσουμε τις (2),(3) στην (1) παίρνουμε την

$\displaystyle\sum a_ib_ic_i \leq (\sum a_i^2 )^{\frac{1}{2}}(\sum b_i^2)^{\frac{1}{4}}(\sum b_i^2c_i^4)^{\frac{1}{4}}$

Μέγιστο με περιορισμούς

Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Μέλη σε σύνδεση