Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

#1

: Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 2173 φορές

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλησπέρα!
Λίγο βιαστικά...
Θέτω

το βαρύκεντρο του ABC

, και

τα ύψη των τριγώνων BKL, GKL, GAC

.
Είναι $KL\parallel AC$ .
Έχω τις σχέσεις:
$\bullet \,\, \dfrac{(GAC)}{(KGL)}=\left (\dfrac{GA}{GK} \right )^{2}\Leftrightarrow (GAC)=16\cdot (KGL)\,\,(1)$

$\bullet \,\,\dfrac{(GKL)}{(LBK)}=\dfrac{u_2}{u_1}\Leftrightarrow \dfrac{(GKL)}{9\,cm^{2}}=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow (GKL)=1\,cm^{2}$

Αντικαθιστώντας τώρα στην (1)

παίρνω $(GAC)=16\cdot 1=16\,cm^{2}$

Είναι όμως $(GAC)=(GBC)=(GBA)\Rightarrow (ABC)=3\cdot (GAC)=48\,\,cm^{2}$

: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο.PNG (39.09 KiB) Προβλήθηκε 2035 φορές

#3

Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

Το ύψος

τέμνει την

στο

και οι

τέμνουν την

στα

αντίστοιχα.

: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 2029 φορές

Το

είναι τραπέζιο και η

ενώνει τα μέσα των διαγωνίων, άρα $\displaystyle KL = \frac{{AC - ED}}{2} = \frac{{AC}}{4}$

Αλλά τα K, L

είναι μέσα των διαμέσων και από γνωστή άσκηση του σχολικού, AS=ST=TC

και $\displaystyle KL = \frac{3}{4}ST$

$\displaystyle \frac{{BH}}{{BZ}} = \frac{{BK}}{{KS}} = \frac{{KL}}{{ST}} = \frac{3}{4} \Rightarrow (ABC) = \frac{1}{2}AC \cdot BZ = \frac{1}{2}(4KL)\left( {\frac{4}{3}BH} \right) =$

$\displaystyle \frac{{16}}{3}\left( {\frac{1}{2}KL \cdot BH} \right) = \frac{{16}}{3}(BKL) \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC)=48 \rm{cm}^2}$

#4

Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

: εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο.png (18.46 KiB) Προβλήθηκε 2013 φορές

Χωρίς λόγια... $\left( ABC \right)=16\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 9=48$

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Ιούλ 06, 2020 3:03 pm
Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .
εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο.png
Χωρίς λόγια... $\left( ABC \right)=16\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 9=48$

Αυτό δεν είναι μόνο χωρίς λόγια αλλά και χωρίς γράμματα

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

Έστω το παραλ/μμο ABMC

.Είναι ,

και

και $AB=MC=2ZD=4DL \Rightarrow DL= \dfrac{ZD}{2}$

$(AZD)=(BDZ)= \dfrac{S}{4} ,(AZK)= \dfrac{(AZD)}{2} = \dfrac{S}{8} \Rightarrow (AKL)= \dfrac{S}{16}$ και $(ALC)=(DZC)= \dfrac{S}{4 }$

Έτσι , $(AZC)=(ABC)=S=2 . \dfrac{S}{8}+2 . \dfrac{S}{4} + \dfrac{S}{16}+9 \Rightarrow S=48$

: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο.png (43.97 KiB) Προβλήθηκε 1992 φορές

#7

george visvikis έγραψε: Δευ Ιούλ 06, 2020 3:40 pm
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Ιούλ 06, 2020 3:03 pm
Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .
εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο.png
Χωρίς λόγια... $\left( ABC \right)=16\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 9=48$
Αυτό δεν είναι μόνο χωρίς λόγια αλλά και χωρίς γράμματα

Νομίζω Γιώργο ότι είναι γνωστή η " Δημιουργική ασάφεια "

#8

Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

Στο σχήμα του Νίκου (Φραγκάκη)

$\left( BKL \right)\overset{\Gamma \nu \omega \sigma \tau o\,\,!}{\mathop{=}}\,\ldots \dfrac{1}{4}\left( AEDC \right)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{3}{4}\left( ABC \right)\Rightarrow \left( ABC \right)=\dfrac{16}{3}\left( BKL \right)$

Έχει συζητηθεί εκτεταμένα η πρώτη ισότητα αλλά για τους νεότερους στο

ας είναι μια πρόκληση

KARKAR · #9

Για το "λήμμα' , βλέπε εδώ

Γιώργος Μήτσιος · #10

Καλησπέρα σε όλους , μετά από καιρό..(*)

: Εμβαδόν(3).png (98.23 KiB) Προβλήθηκε 1862 φορές

Παραλλαγή της λύσης του Γιώργου.

Οι BK,BL

τέμνουν την

στα

. Από τη γνωστή άσκηση είναι AF=FH=HC

.

Ακόμη KF=DH/2=BF/4

οπότε $BF=\dfrac{4}{3}BK \Rightarrow \left ( BHF \right )=\dfrac{16}{9}\left ( BKL \right )=16$ αφου $KL \parallel FH$
και τελικά $\left ( ABC \right )=3\left ( BHF \right )=48$

(*)Εκτός των άλλων, είχα και αχρήστευση της κεντρικής μονάδας του Η/Υ. Τώρα γράφω με λειτουργικό linux mint όπου με κόπο ...κατάφερα να εμφανίσω το ως άνω αχήμα..
Βασικά δεν γνωρίζω αν μπορώ -και πώς- να εγκαταστήσω το sketchpad geometer's και το geogebra..

Σας ευχαριστώ εκ' των προτέρων για κάθε βοήθεια.
Γιώργος.

#11

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Ιούλ 07, 2020 6:51 pm Καλησπέρα σε όλους , μετά από καιρό..(*)
Εμβαδόν(3).png
Παραλλαγή της λύσης του Γιώργου.

Οι τέμνουν την στα . Από τη γνωστή άσκηση είναι .

Ακόμη οπότε $BF=\dfrac{4}{3}BK \Rightarrow \left ( BHF \right )=\dfrac{16}{9}\left ( BKL \right )=16$ αφου $KL \parallel FH$
και τελικά $\left ( ABC \right )=3\left ( BHF \right )=48$

(*)Εκτός των άλλων, είχα και αχρήστευση της κεντρικής μονάδας του Η/Υ. Τώρα γράφω με λειτουργικό linux mint όπου με κόπο ...κατάφερα να εμφανίσω το ως άνω αχήμα..
Βασικά δεν γνωρίζω αν μπορώ -και πώς- να εγκαταστήσω το sketchpad geometer's και το geogebra..

Σας ευχαριστώ εκ' των προτέρων για κάθε βοήθεια.
Γιώργος.

Γιώργο αισθητή ή απουσία σου . Να είσαι καλά στην υγεία σου κι όλα τ άλλα διορθώνονται.

Έχω κάτι γνωστούς "Linuxades"κι αν συναντήσω κανένα κι έχω κάτι που μπορεί να βοηθήσει θα το αναρτήσω.

p_gianno · #12

Doloros έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2020 12:02 pm Εμβαδόν τριγώνου απο τρίγωνο.png

Στο σχήμα τα $K\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι τα μέσα των διαμέσων $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ του $\vartriangle ABC$ .

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ .

24 ώρες, μόνο για μαθητές .

: area from area.png (52.56 KiB) Προβλήθηκε 1836 φορές

Φέρω

και

$DL\cap EK=M \in AC$

Είναι
(EBK)= ¼ (EBDM)

Συνεπώς $(EBK)+(BLD)+ (KLM)=5/8 (EBDM) \rightarrow (KBL)=3/8 (EBDM)=3/16 (ABC)$

$\rightarrow (ABC)=16/3 (KBL)=16/3 \cdot 9=48 cm^2$

Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου από τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση