Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

#1

Θεωρούμε τέσσερα σπίτια πάνω στις κορυφές ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ με AB=52m

και
$B\Gamma=30m$ . Στο κέντρο του ορθογωνίου όπου υπάρχει ένα πηγάδι τοποθετούμε
μια αντλία νερού που παρέχει νερό στα σπίτια αυτά και θέλουμε να τη συνδέσουμε με σωλήνες
που έχουν συγκεκριμενο κόστος ( τιμή/μέτρο σωλήνα), με τα σπίτια.
Ισχυρίζόμαστε ότι το ελάχιστο κόστος το πετυχαίνουμε όταν έχουμε την τοποθέτηση των σωλήνων
κατά μήκος των διαγωνίων.
Χαρακτηρίστε τον προηγούμενο ισχυρισμό ως αληθή ή ψευδή, αποδεικνύοντας την απάντησή σας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λάμπρος Κατσάπας · #2

chris_gatos έγραψε: Τετ Ιούλ 08, 2020 11:14 pm Θεωρούμε τέσσερα σπίτια πάνω στις κορυφές ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ με και
$B\Gamma=30m$ . Στο κέντρο του ορθογωνίου όπου υπάρχει ένα πηγάδι τοποθετούμε
μια αντλία νερού που παρέχει νερό στα σπίτια αυτά και θέλουμε να τη συνδέσουμε με σωλήνες
που έχουν συγκεκριμενο κόστος ( τιμή/μέτρο σωλήνα), με τα σπίτια.
Ισχυρίζόμαστε ότι το ελάχιστο κόστος το πετυχαίνουμε όταν έχουμε την τοποθέτηση των σωλήνων
κατά μήκος των διαγωνίων.
Χαρακτηρίστε τον προηγούμενο ισχυρισμό ως αληθή ή ψευδή, αποδεικνύοντας την απάντησή σας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η πηγή αργότερα, μετά την ενασχόλησή σας.

Αν τοποθετήσουμε σωλήνες στη μεσοπαράλληλη των AB,CD

και στις πλευρές AD,BC

τότε έχουμε χαμηλότερο κόστος. Άρα ψευδής.

#3

Ας το δούμε και σχηματικά.

: Α ή Ψ.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 2087 φορές

$\displaystyle \bullet$ Αν τοποθετήσουμε τους σωλήνες κατά μήκος των διαγωνίων θα χρειαστούμε συνολικό μήκος σωλήνων: $\displaystyle L = 4OA = 4\sqrt {{{26}^2} + {{15}^2}} = 4\sqrt {901} \simeq 120m$

$\displaystyle \bullet$ Αν οι σωλήνες τοποθετηθούν στην

(

μέσα των

) θα χρειαστούμε συνολικό μήκος σωλήνων: $\displaystyle l = MN + 2AD = 52 + 60 = 112m$

Άρα ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

Παρατήρηση: Με AB=52m, BC=39m

έχουμε το ίδιο ακριβώς μήκος σωλήνων και στις δύο περιπτώσεις. Σε επόμενη ανάρτηση θα γράψω την γενική περίπτωση.

#4

Έστω

: Α ή Ψ.β.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 2028 φορές

$\displaystyle \bullet$ Κατά μήκος των διαγωνίων: $\displaystyle {L^2} = 16({a^2} + {b^2})$

$\displaystyle \bullet$ Κατά μήκος της μεσοπαράλληλης: $\displaystyle {l^2} = {(2a + 4b)^2}$

$\displaystyle {L^2} - {l^2} = 4a(3a - 4b) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} L > l,a > \dfrac{{4b}}{3}\\ \\ L = l,a = \dfrac{{4b}}{3}\\ \\ L < l,a < \dfrac{{4b}}{3} \end{array} \right.$

#5

Καλησπέρα σε όλους.

Με 104 m

σωλήνες γίνεται η δουλειά και περισσεύουν και λίγα εκατοστά. Θέλει όμως πιο πολλές συνδέσεις.

Προτείνω μια γνωστή μάρκα για τις συνδέσεις.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Πέμ Ιούλ 09, 2020 7:16 pm Καλησπέρα σε όλους.

Με σωλήνες γίνεται η δουλειά και περισσεύουν και λίγα εκατοστά. Θέλει όμως πιο πολλές συνδέσεις.

Προτείνω μια γνωστή μάρκα για τις συνδέσεις.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Νομίζω Steiner λέγεται.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #7

Δείτε π.χ. εδώ

#8

Ωραίες αναμνήσεις από την διδασκαλία μου στις ΗΠΑ μου φέρνει το θέμα αυτό! Πράγματι, στο "λίγο απ' όλα για όλους" μάθημα "Mathematics in the Contemporary World" (ή κάτι τέτοιο) το δέντρο Steiner και το σημείο Torricelli ήταν η μοναδική μου ευκαιρία να συζητήσω κάτι σχετικό με Ευκλείδεια Γεωμετρία!

Αν δεν επιμένουμε σε πλήρη απόδειξη, το παρόν μπορεί να τεθεί και ως θέμα Λογισμού κατά το συνημμένο, πιο συγκεκριμένα θέμα ελαχιστοποίησης της $f(x)=2x+4\sqrt{(a-x)^2+b^2}$ . (Θέλει λίγη διερεύνηση, το ελάχιστο συνολικό μήκος που προκύπτει είναι το $2a+\dfrac{6b}{\sqrt{3}}$ ... που για a=26

,

δίνει περίπου 103,97

... όπως ήδη προέβλεψε προτρέχων ο Γιώργος Ρίζος.)

: steiner-min.png (4.7 KiB) Προβλήθηκε 1902 φορές

kkala · #9

Έχομε λοιπόν τρείς τρόπους σύνδεσης κατά τα παραπάνω.
1. Διαγωνίως (#1, chris-gatos), συνολικό μήκος L=120 m
2. Μεσοπαράλληλος ΜΝ (#3, george visvikis), L=112 m
3. Ελαχιστοποίηση μήκους (Steiner κλπ) (#6, Γιώργος Ρίζος και #8, gbaloglou), L=104 m
Ε'ιναι πιθανό (όχι όμως διευκρινισμένο) ότι καθένα από τα 4 σπίτια μπορεί να χρειαστεί κάποτε την ίδια στιγμή να καταναλώσει την μέγιστη παροχή Q (σε m3/h, παροχή αντλίας 4Q). Τότε θα χρειασθεί να περάσει η εξής παροχή νερού:
1. Q σε όλα τα τμήματα των διαγωνίων σωλήνων (#1).
2. 2Q στη μεσοπαράλληλο ΜΝ. Q στα κάθετα τμήματα των σωλήνων (#3).
3. 2Q στο τμήμα μεταξύ (-χ,0) και (χ.0). Q στα άλλα τμήματα των σωλήνων (#6, #8).
Δεχόμενοι ίση μέγιστη ταχύτητα σε όλους τους σωλήνες, τα τμήματα των εναλλακτικών (2) και (3) με παροχή 2Q χρειάζονται διπλάσια διατομή σωλήνων (πράγμα που αυξάνει το κόστος). Εξάλλου η διαφορά συνολικού μήκους σωλήνα δεν είναι σημαντική μεταξύ των τριών περιπτώσεων (15%). Προσανατολισμός στην εναλλακτική (1) φαίνεται ενδεδειγμένος, που είναι και η απλούστερη.
Σημ. Χρειάζονται βέβαια πρόσθετα στοιχεία και εργασία για να εκφρασθούν τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα με ακρίβεια.
Πρόσθετη σημείωση: Ο τελικός μελετητής του έργου είναι πολύ χρήσιμο να γνωρίζει και τις εναλλακτικές (#3, #6&8), ιδίως για ορθογώνιο αρκετά μεγαλύτερων διαστάσεων.

Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Re: Είναι αληθής ή ψευδής ο ισχυρισμός;;

Μέλη σε σύνδεση