Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#181

dimplak έγραψε: Τρί Νοέμ 29, 2016 11:52 pm 51.

$\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}$

Απάντηση:

Δεν παίρνω περιορισμούς.
$\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}\Leftrightarrow 2+3\sqrt{x}-x+6-2\sqrt{x}-3x+ 2 \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}=10+4\sqrt{x}-5x\Leftrightarrow$
$2 \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}=2+3\sqrt{x}-x\Leftrightarrow \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x}=0 \vee 2 \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}= \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x}\Leftrightarrow$
$2+3\sqrt{x}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{13+3\sqrt{17}}{2}$
$2 \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}= \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x}\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1$

KARKAR · #182

Άσκηση 77 .
Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt{7x+1}+\sqrt{5x-9}-\dfrac{17}{2}=\sqrt{\dfrac{7x+1}{5x-9}$

#183

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 06, 2020 9:56 am Άσκηση 77 .
Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt{7x+1}+\sqrt{5x-9}-\dfrac{17}{2}=\sqrt{\dfrac{7x+1}{5x-9}$

Πεδίο ορισμού x> 9/5

. Εκεί το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και το δεξί, δηλαδή το $\sqrt {\dfrac {7}{5} + \dfrac {68} {5(5x-9)} }$ είναι γνήσια φθίνουσα (άμεσο). Άρα έχουμε το πολύ μία ρίζα. Προφανής ρίζα η x=5

, άρα και η μοναδική.

#184

dimplak έγραψε: Τρί Νοέμ 29, 2016 9:56 am 48.

$\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5} = 2x^2 - 5x$

Απάντηση:

Με $\frac{5}{2}\leq x\leq 4$ έχουμε:
Αφαιρούμε το

και από τα δύο μέλη, το σπάμε σε μονάδες και αντίστοιχα παίρνουμε συζυγείς στο α΄μέλος
$\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5}-3 = 2x^2 - 5x - 3\Leftrightarrow \sqrt{x-2} - 1 + \sqrt{4-x} - 1 + \sqrt{2x-5} - 1 = 2x^2 - 5x - 3\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x-2} + 1} + \frac{3-x}{\sqrt{4-x} + 1} + \frac{2(x-3)}{\sqrt{2x-5} + 1} = \left (2x+1 \right )\left ( x-3 \right )\Leftrightarrow x=3 \vee 2x+1+\frac{1}{\sqrt{4-x} + 1}-\frac{1}{\sqrt{x-2} + 1}-\frac{2}{\sqrt{2x-5} + 1}=0$
προκύπτει το x=3

μοναδική λύση γιατί η άλλη παράσταση είναι θετική.

#185

dimplak έγραψε: Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:20 am 25.

$2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}$

Με $-1\leq x\leq 2$ έχουμε

$2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}\Leftrightarrow 2x \sqrt{2-x}- 2 \sqrt{2 + x - x^2}+ (x-1) \sqrt{x+1} - \sqrt{2 + x - x^2}=0\Leftrightarrow 2 \sqrt{2-x}\left ( x-\sqrt{x+1} \right )+\sqrt{x+1}\left ( x-1- \sqrt{2-x} \right )=0 \Leftrightarrow$

$\frac{2\sqrt{2-x}\cdot \left ( x^2-x-1 \right )}{x+\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x+1}\cdot \left ( x^2-x-1 \right )}{x-1+\sqrt{2-x}}=0\Leftrightarrow (x^2-x-1) \left (\frac{2\sqrt{2-x}}{x+\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x+1}}{x-1+\sqrt{2-x}} \right )=0\Leftrightarrow$
$x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Σταμ. Γλάρος · #186

dimplak έγραψε: Τετ Δεκ 14, 2016 8:56 am 72.

$2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2x} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}$

Απάντηση: $\frac{911}{480}$

Καλημέρα. Μια προσπάθεια...
Πρώτα από όλα έχουμε περιορισμό: $x\in \left [ \dfrac{1}{2},2 \right ]$
Οπότε:
$2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2x} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{2(5 - 2x)} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{2(3 - x)} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}= \sqrt{2-x} \sqrt{2(5 - 2x)} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{2(3 - x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}= \sqrt{2(5 - 2x)} \left( \sqrt{2-x} + \sqrt{3 - x} \right )$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left(2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}\right )\left( \sqrt{2-x} - \sqrt{3 - x} \right ) = \sqrt{2(5 - 2x)} \left( \sqrt{2-x} + \sqrt{3 - x} \right )\left( \sqrt{2-x} - \sqrt{3 - x} \right )$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left(2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}\right )\left( \sqrt{3-x} - \sqrt{2 - x} \right ) = \sqrt{2(5 - 2x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $(2x - 1) \sqrt{3-x} + 2(2-x) \sqrt{3 - x} - (2x - 1) \sqrt{2-x} -2(3-x) \sqrt{2-x} = \sqrt{2(5 - 2x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $3 \sqrt{3-x} -5 \sqrt{2-x} = \sqrt{2(5 - 2x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left(3 \sqrt{3-x} -5 \sqrt{2-x} \right )^2 = 2(5 - 2x)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $67-30x=30 \sqrt{(3-x)(2-x)}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{911}{480}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#187

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιούλ 04, 2020 9:03 am
dimplak έγραψε: Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am 20.

$(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$
Δεν νομίζω ότι λύνεται.

Μία προσπάθεια (δεν είμαι σίγουρος)
Για $x\in [-1,1]$

$\sqrt{1+x}=\sqrt{\left (1+x \right )\cdot 1} \leq \frac{1+x+1}{2}=\frac{x+2}{2}$
$\sqrt{1-x}=\sqrt{\left (1-x \right )\cdot 1}\leq \frac{1-x+1}{2}=\frac{2-x}{2}$
Άρα έχουμε ότι
$\left ( 2x+3 \right )^{2}\leq 4(\frac{2+x}{2}+\frac{2-x}{2})=8$
με την ισότητα να ισχύει όταν
$(2x+3)^2=8\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$

: Screenshot_1.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 3152 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #188

xr.tsif έγραψε: Σάβ Ιούλ 18, 2020 7:07 pm
george visvikis έγραψε: Σάβ Ιούλ 04, 2020 9:03 am
dimplak έγραψε: Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am 20.

$(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$
Δεν νομίζω ότι λύνεται.
Μία προσπάθεια (δεν είμαι σίγουρος)
Για $x\in [-1,1]$

$\sqrt{1+x}=\sqrt{\left (1+x \right )\cdot 1} \leq \frac{1+x+1}{2}=\frac{x+2}{2}$
$\sqrt{1-x}=\sqrt{\left (1-x \right )\cdot 1}\leq \frac{1-x+1}{2}=\frac{2-x}{2}$
Άρα έχουμε ότι
$\left ( 2x+3 \right )^{2}\leq 4(\frac{2+x}{2}+\frac{2-x}{2})=8$
με την ισότητα να ισχύει όταν
$(2x+3)^2=8\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$ Screenshot_1.png

Δυστυχώς η $x=\sqrt{2}-\frac{3}{2}$
δεν επαληθεύει την εξίσωση.

Είμαι πολύ περίεργος να δω λύση από τον θεματοδότη.

#189

Δίκιο έχεις Σταύρο. Αν και είχα ενδοιασμούς δεν έλεγξα την λύση.

#190

dimplak έγραψε: Κυρ Δεκ 04, 2016 11:27 am 57.

$\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}$

Απάντηση: ή $x = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$

Για $x\geq 5$ έχουμε:
$\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}\Leftrightarrow \sqrt{5x^2 + 14x + 9} = 5 \sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - x - 20}\Leftrightarrow 5x^2+14x+9=25x+25+x^2-x-20+10\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x^2 - x - 20}\Leftrightarrow$
$2x^2-5x+2=5\sqrt{(x+1)(x-5)(x+4)}\Leftrightarrow 2x^2-8x-10+3x+12=5\sqrt{(x+1)(x-5)}\sqrt{x+4}\Leftrightarrow$
$2(x^2-4x-5)+3(x+4)=5\sqrt{x^2-4x-5}\sqrt{x+4}\Leftrightarrow 2\frac{x^2-4x-5}{x+4} + 3 =5\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}$
Αν θέσουμε την $\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}=t\geq 0$ έχουμε ότι
$2t^2-5t+3=0\Leftrightarrow t=1 \vee t=\frac{3}{2}$ και τότε έχουμε
Για t=1

έχουμε $\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}=1\Leftrightarrow x^2-4x-5=x+4\Leftrightarrow x^2-5x-9=0\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$
Για $t=\frac{3}{2}$ έχουμε $\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 4x^2-25x-56=0\Leftrightarrow x=8$

#191

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
rek2 έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις .
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.

Άλυτες παραμένουν οι:
12,13,20,26,29,38,50,55,58,61,63,64,71

.

#192

dimplak έγραψε: Τρί Νοέμ 29, 2016 9:47 pm 50.

$\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25$

Απάντηση: ή $x= \frac{5 \pm \sqrt{3}}{4}$

$\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5} = (2x-3)^3 - x + 2$
Θέτουμε το $\sqrt[3]{3x-5} = 2y-3$ και έχουμε ότι:
(2y-3)^2=3x-5

και

Τις αφαιρούμε, οπότε προκύπτει
$(2x-3)^3-(2y-3)^3=2y-2x\Leftrightarrow (2x-2y)\cdot [(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2]=2y-2x\Leftrightarrow x=y \vee [(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2+1]=0$
'Αρα x=y

αφού η αγκύλη είναι θετικός. Έτσι έχουμε:
$(2x-3)^3=3x-5\Leftrightarrow 8x^3-36x^2+51x-22=0\Leftrightarrow x=2 \vee 8x^2-20x+11=0\Leftrightarrow x=2 \vee x=\frac{5\pm \sqrt{3}}{4}$

#193

τώρα που το βλέπω , όμοια με την 50 πρέπει να λύνεται και η 38

#194

xr.tsif έγραψε: Τετ Ιούλ 22, 2020 9:06 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
rek2 έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις .
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.
Άλυτες παραμένουν οι:
.

Λύση για την 13;;;

#195

dimplak έγραψε: Πέμ Δεκ 01, 2016 9:07 am 55.

$\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}} = x$

Απάντηση: $\frac{\sqrt{41} - 3}{2}$

Μία προσπάθεια
Αν θέσουμε: $\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}=y$
και $\sqrt{8 - 3x}=z$
τότε έχουμε $x=\sqrt{8 - 3y}$ , $y=\sqrt{8 - 3z}$ και $z= \sqrt{8 - 3x}$
Για τα οποία ισχύει $0\leq x\leq y\leq z$ Με την ισότητα να ισχύει όταν x=y=z

Άρα $x=z\Leftrightarrow x=\sqrt{8-3x}\Leftrightarrow x^2+3x-8=0\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$

#196

dimplak έγραψε: Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am 20.

$(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$

Ο Δημήτρης λέει ότι η σωστή εκφώνηση είναι
$\frac{8}{9}(x+\frac{3}{2})^2 = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #197

xr.tsif έγραψε: Πέμ Ιούλ 30, 2020 10:07 pm
dimplak έγραψε: Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am 20.

$(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$
Ο Δημήτρης λέει ότι η σωστή εκφώνηση είναι
$\frac{8}{9}(x+\frac{3}{2})^2 = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$

Αρση απόκριψης
προφανής λύση το

.Επειδή η μία είναι κυρτή και η άλλη κοίλη εύκολα βλέπουμε ότι είναι μοναδική. Ας δώσει ο dimplak λύση εντός φακέλου.

Λύση.
Θέτουμε $f(x)=\frac{8}{9}(x+\frac{3}{2})^2 ,g(x)= \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$
Η

είναι κυρτή και η

κοίλη στο πεδίο ορισμού της.
Παρατηρούμε ότι f(0)=g(0)=2

Είναι

για $0< x\leq 1$
και f(x)>2

για $0< x\leq 1$
Ετσι στο (0,1]

δεν υπάρχει λύση.
Είναι $g(-1)=\sqrt{2},f(-1)=\frac{2}{9}$
Ετσι στο [-1,0)

η

είναι πάνω από το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα $(-1,\sqrt{2})$ και (0,2)

ενώ η

κάτω από το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα $(-1,\frac{2}{9})$ και (0,2)

.
Αρα και στο [-1,0)

δεν υπάρχει λύση.
Τελικά μοναδική λύση η x=0

Al.Koutsouridis · #198

dimplak έγραψε: Τρί Δεκ 13, 2016 8:52 am 69.

$5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1}$

Απάντηση: ή

Αν και την έλυσε ο Διονύσης στη δημοσίευση #160 με ύψωση στο τετράγωνο, ας δούμε την τεχνική που επιλύει παρόμοιες εξισώσεις.

Η μέθοδος είναι η αναγωγή σε ομογενής εξίσωση.

Η εξίσωση γράφεται

$5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1} \Leftrightarrow 5x^2-7x+3=3 \sqrt{(x+1)(x^2-x+1)} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 5(x^2-x+1)-2(x+1) = 3 \sqrt{x+1} \sqrt{ x^2-x+1}$

Θέτουμε $a =\sqrt{x^2-x+1}$ και $b=\sqrt{x+1}$ . Οπότε η εξίσωση γίνεται

5a^2-2b^2=3ab

η οποία είναι ομογενής. Διαιρούμε με a^2

και έχουμε

$5-2\left ( \dfrac{b}{a} \right)^2=3 \dfrac{b}{a}$ .

Θέτουμε $t=\dfrac{b}{a}$ και η εξίσωση γίνεται

$5-2t^2=3t \Leftrightarrow 2t^2+3t-5=0 \Leftrightarrow t=1$ ή $t=-\dfrac{5}{2}$ .

Η περίπτωση $t=-\dfrac{5}{2}$ απορρίπτεται. Για t=1

έχουμε

$x^2-x+1=x+1 \Leftrightarrow x(x-2) =0 \Leftrightarrow x=0$ ή x=2

.

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση