Ολοκλήρωμα με γινόμενο

stranger · #1

Κάπου είχα βρει μια παράλληλη με τα αθροίσματα Riemann ολοκλήρωση.
Στο συγκεκριμένο παίρνουμε γίνομενα αντί για αθροίσματα στον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann.
Καμία πληροφορία σχετικά με αυτό; Ξέρει κανείς αυτήν την ολοκλήρωση; Για ποιο λόγο είναι πιο διάσημος ο ορισμός με τα αθροίσματα από αυτόν με τα γινόμενα;

Tolaso J Kos · #2

Μήπως εννοείς αυτό;

stranger · #3

Ναι αυτό έψαχνα. Ευχαριστώ.
Ξέρει κανείς αν χρησιμοποιείται στα σύγχρονα μαθηματικά αυτή η ολοκλήρωση;
Μάλλον όχι γιατί ανάγεται στη συνήθη ολοκλήρωση με τα αθροίσματα, επειδή $\prod_{a}^{b} f(x)^{dx}= exp(\int_{a}^{b} \log f(x) dx)$ .

#4

stranger έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 4:07 pm
$\prod_{a}^{b} f(x)^{dx}= exp(\int_{a}^{b} \log f(x) dx)$ .

Προσοχή στα σύμβολα. Η σωστή γραφή είναι

$\displaystyle{\lim_{|D|\to 0} \prod_{k=1}^{n} f(\xi _k)^{a_{k+1} -a_k} }= exp(\int_{a}^{b} \log f(x) dx)}$

όπου το όριο λαμβάνεται ως προς διαμερίσεις D: a=a_0<a_1< ... < a_n=b

πλάτους

,

Πρόκειται για το "λογαριθμικό ανάλογο" των γνωστών αθροισμάτων Riemann.

Θα το θέσω ως άσκηση με υπόδειξη στο ποστ που έχω ανοίξει για αθροισμάτων Riemann.

stranger · #5

Έγραψα $\prod_{a}^{b} f(x)^{dx}$ για το ολοκλήρωμα γινόμενο.
Ο ορισμός του είναι αυτός που γράψατε με τις διαμερίσεις.
Ουσιαστικά ο ορισμός ακολουθεί την ίδια ιδέα με τα αθροίσματα.

Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση