Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

KARKAR · #1

: Διπλή ισότητα.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 1081 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC ,( \hat{A}=90^0 )$ , το ύψος

τέμνει την διχοτόμο

στο σημείο

.

Φέρουμε $AT \perp BE$ . Δείξτε ότι AP=AE

και επίσης TA=TS

. Μέχρι

Ιουλίου

.

#2

: Διπλή ισότητα.png (20.74 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Ας είναι

η τομή της διχοτόμου

με την παράλληλη στην

από το

.

Επειδή : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{Z_{}}} \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{Z_{}}} \Leftrightarrow AB = AZ\,\,\left( 1 \right)$ .

$\vartriangle ABP = \vartriangle AZE\,\,\,\left( {\Gamma - \Pi - \Gamma } \right)$ και άρα $\boxed{AP = AE}\,\,\left( 2 \right)$ .

Επειδή τα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ βλέπουν υπό ορθές γωνίες την

ανήκουν σε ημικύκλιο διαμέτρου

.

Αφού $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ τα αντίστοιχα τόξα θα είναι ίσα , οπότε και οι χορδές $TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS$ είναι ισες.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 10, 2020 9:51 am
Διπλή ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC ,( \hat{A}=90^0 )$ , το ύψος τέμνει την διχοτόμο στο σημείο .

Φέρουμε $AT \perp BE$ . Δείξτε ότι και επίσης . Μέχρι Ιουλίου .

: Διπλή ισότητα.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Αν η

τέμνει την

στο

τότε το

είναι μέσο του

κι επειδή $\displaystyle A\widehat SN = 90^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{TS = \frac{{AN}}{2} = TA}$

$\displaystyle B\widehat EA = B\widehat PS$ ως συμπληρωματικές ίσων γωνιών, άρα $\displaystyle A\widehat PE = A\widehat EP \Leftrightarrow$ $\boxed{AP=AE}$

angvl · #4

'Εστω $\displaystyle AT \cap BC \equiv N , BA \cap NP \equiv L , \angle PAT=x ,$ και $\angle TAE=y$

Το $\displaystyle P$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου BAN

αφού $BT \perp AN$ και $AS \perp BN$ άρα

$\displaystyle NL \perp BA \Rightarrow NL//AC \Rightarrow \angle LNA = \angle TAE =y$ (εντός εναλλάξ).

Το τρίγωνο $\displaystyle BAN$ είναι ισοσκελές αφού η

είναι διχοτόμος και ύψος άρα AT=TN

. Αρα και το τρίγωνο PAN

είναι ισοσκελές αφου η

είναι ύψος και διάμεσος οπότε x = y

.

Συνεπώς το τρίγωνο $\displaystyle PAE$ είναι ισοσκελές αφου η

είναι ύψος και διχοτόμος οπότε AP=AE

.

Aπο τα παραπάνω εύκολα προκύπτει ότι ST=AT

αφού είναι η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ASN

που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

p_gianno · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 10, 2020 9:51 am

Διπλή ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC ,( \hat{A}=90^0 )$ , το ύψος τέμνει την διχοτόμο στο σημείο .

Φέρουμε $AT \perp BE$ . Δείξτε ότι και επίσης . Μέχρι Ιουλίου .

: Διπλή ισότητα.png (46.06 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

$\angle P_1=P_2=90^0-B_2=90^0-B_1=E_1 \rightarrow \triangle PAE$ ισοσκελές $\rightarrow AE=AP$

BSTA

εγγράψιμο στον κύκλο διαμέτρου

. ( $\hat T, \hat S$ βλέπουν υπό ορθή γωνία την

).

Συνεπώς οι ίσες εγγεγραμμένες γωνίες B_1 , B_2

αντιστοιχούν σε ίσες χορδές, δηλαδή AT=TS

Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Μέλη σε σύνδεση