Υπάρχει τέτοια συνάρτηση

evitakron · #1

Καλησπέρα! Υπάρχει συνεχής συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς για την οποία ισχύει η σχέση

$f\left ( f\left ( x \right ) \right )=e^{f\left ( x \right )}-x$

Δεν εννοώ με γνωστό τύπο απλά αν υπάρχει τέτοια. Γιατί πέφτω σε αντιφάσεις.

Γενικά όταν κατασκευάζουμε μια άσκηση με συναρτησιακή σχέση, πρέπει να έχουμε μια συγκεκριμένη συνάρτηση στο μυαλό μας; Και αν δεν έχουμε, πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη της;

Ευχαριστώ!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

evitakron έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 9:20 pm
Καλησπέρα! Υπάρχει συνεχής συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς για την οποία ισχύει η σχέση

$f\left ( f\left ( x \right ) \right )=e^{f\left ( x \right )}-x$

Δεν εννοώ με γνωστό τύπο απλά αν υπάρχει τέτοια. Γιατί πέφτω σε αντιφάσεις.

Γενικά όταν κατασκευάζουμε μια άσκηση με συναρτησιακή σχέση, πρέπει να έχουμε μια συγκεκριμένη συνάρτηση στο μυαλό μας; Και αν δεν έχουμε, πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη της;

Ευχαριστώ!

Δεν υπάρχει.
Η απόδειξη χρησιμοποιεί εργαλεία που δεν είναι στο Λύκειο.
(τουλάχιστον αυτή που έχω εγώ)

Είναι εύκολο να δείξεις ότι είναι 1-1

Πρέπει να στηριχθείς στα εξής:

1)Αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής 1-1

τότε είναι γνησίως μονότονη.

2)Αν η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
είναι γνησίως μονότονη τότε τα όρια
$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x),\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)$
υπάρχουν στο
$\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$

Το πρώτο μπορεί να αποδειχθεί με σχολική ύλη και υπάρχει σε βοηθήματα.
Το δεύτερο αν και διαισθητικά προφανές δεν μπορεί να αποδειχθεί με σχολική ύλη.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 10:53 pm
Δεν υπάρχει.
Η απόδειξη χρησιμοποιεί εργαλεία που δεν είναι στο Λύκειο.
(τουλάχιστον αυτή που έχω εγώ)

Είναι εύκολο να δείξεις ότι είναι

Πρέπει να στηριχθείς στα εξής:

1)Αν $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής τότε είναι γνησίως μονότονη.

2)Αν η $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
είναι γνησίως μονότονη τότε τα όρια
$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x),\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)$
υπάρχουν στο
$\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$

Το πρώτο μπορεί να αποδειχθεί με σχολική ύλη και υπάρχει σε βοηθήματα.
Το δεύτερο αν και διαισθητικά προφανές δεν μπορεί να αποδειχθεί με σχολική ύλη.

Ας συνεχίζω από τις υποδείξεις του Σταύρου:

Αφού

γνήσια μονότονη έπεται ότι $f\circ f$ είναι γνήσια αύξουσα, οπότε και η ίση της $e^{f(x)}-x$ γνήσια αύξουσα.Έπεται ότι και η ίδια (η μονότονη)

θα είναι γνήσια αύξουσα (αν ήταν γνήσια φθίνουσα θα ήταν γνήσια φθίνουσα και η $e^{f(x)}-x$ ως άθροισμα από δύο γνήσια φθίνουσες).

Άρα το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=L \in \mathbb{R}\cup \left \{ -\infty \right \}}$ (δηλαδή δεν μπορεί να είναι $+\infty$ ). Αν $L \in \mathbb{R}$ τότε

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(f(x))=f(L) \in \mathbb{R}$ ενώ αν $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)= \left \{ -\infty \right \}}$ τότε

$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(f(x))=-\infty$ .

Τα δύο μαζί λένε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(f(x) )\in \mathbb{R}\cup \left \{ -\infty \right \}\, (*)}$

Κοιτάμε τώρα το ίσο του $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{f(x)}-x}$ . Επειδή ο όρος $e^{f(x)}$ τείνει είτε στο e^L

είτε στο

, έπεται ότι

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{f(x)}-x=+\infty}$ . Αυτό αντιβαίνει στην (*)

.

Τελικά δεν υπάρχει τέτοια

.

evitakron · #4

Κατανοητά όλα αυτά που γράψατε. Κ. Μιχάλη, κ.Σταύρο σας ευχαριστώ!

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Re: Υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση