Λόγος για γωνία

#1

είναι η διάμεσος τριγώνου ABC

με $\displaystyle \sin B = \frac{c}{a}.$ Αν $A\widehat MB=B\widehat AC,$ να βρείτε τη γωνία $\widehat B.$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλησπέρα κ.Γιώργο

Λίγο μακροσκελής...

Θέτω $\widehat{BAM}=\omega$ και $\widehat{MAC}=\vartheta$

Απο τον ν.ημιτόνων στο τρίγωνο ABC

έχω:
$\dfrac{\sin\widehat{A}}{a}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{c}=\dfrac{\sin\widehat{B}}{b}\Leftrightarrow \sin \widehat{A}=\dfrac{c}{b},\,\,\sin\widehat{C}=\dfrac{c^{2}}{ab}$

Με ν.ημιτόνων στα τρίγωνα ABM

και

παίρνω αντίστοιχα:

$\dfrac{\sin\omega }{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sin\widehat{A}}{c}\Leftrightarrow \sin\omega=\dfrac{\frac{a}{2}\cdot\dfrac{c}{b} }{c} =\dfrac{ac}{2bc}$ και,

$\dfrac{\sin\vartheta }{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sin\widehat{C}}{AM}\Leftrightarrow \sin\vartheta= \dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{c^{2}}{ab}}{AM}=\dfrac{c^{2}}{2b\cdot AM}$

Διαιρώντας τες κατα μέλη προκύπτει $\dfrac{\sin\omega }{\sin\vartheta }=\dfrac{\dfrac{ac}{2bc}}{\dfrac{c^{2}}{2b\cdot AM}} =\dfrac{AM\cdota}{c^2}\,\,(1)$

Όμως απο το γενικευμένο θ.διχοτόμου έχω ακόμη $\dfrac{c\cdot \sin\omega }{b\cdot \sin\vartheta }=1\Leftrightarrow\dfrac{ \sin\omega }{ \sin\vartheta } =\dfrac{b}{c}\,\,(2)$

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των (1)

και

έχω $\dfrac{a\cdot AM}{c^{2}}=\dfrac{b}{c}\Leftrightarrow AM=\dfrac{bc}{a}$

Είναι : $AM^{2}=\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}=\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}=\dfrac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\Leftrightarrow (a^{2}-2b^{2})(a^{2}-2c^{2})=0\Leftrightarrow$ $b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\,\,\acute{\eta}\,\, c=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Απο τις δυο αυτές περιπτώσεις προκύπτει $\widehat{B}=45^{\circ}\,\,\acute{\eta }\,\,\widehat{B}=135^{\circ}$

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι στις πράξεις...

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ σε όλους! Βρίσκω, όχι με πολλές πράξεις (*)
ότι $sinB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Συνεπώς (αν το βλέπω καλά)

πρέπει Θεοδόση να προσέξουμε..μην μας ξεφύγει η ''ευρύχωρη''

...

Υ.Γ (*) Με βάση την ομοιότητα των τριγώνων BAC

και

όπως ακριβώς γράφει παρακάτω ο Στάθης!

Όσο για την ''ευρύχωρη'' εννοώ την αμβλεία $\widehat{B}=135^{0}$ που έχει πλέον συμπεριλάβει και ο Θεοδόσης!

Φιλικά, Γιώργος.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Ιούλ 20, 2020 10:38 pm Καλό βράδυ σε όλους! Βρίσκω, όχι με πολλές πράξεις ότι $sinB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Συνεπώς (αν το βλέπω καλά)

πρέπει Θεοδόση να προσέξουμε..μην μας ξεφύγει η ''ευρύχωρη'' ...

Φιλικά, Γιώργος.

Οταν κολλήσει το μυαλό, η λύση βγάζει πόδια

Μια αισθητά συντομότερη:

Φαίρνω το ύψος

.

Είναι $\sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow c^{2}=a\cdot AD\Leftrightarrow AD=\dfrac{c^{2}}{a}\,\,(1)$

Έχουμε ακόμα $\sin\widehat{A}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{AM }=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow AM=\dfrac{AD\cdot b}{c}\overset{(1)}{=}\dfrac{bc}{a}$ , οπότε αντικαθιστώντας στον τύπο της διαμέσου καταλήγουμε ότι $\widehat{B}=45^{\circ}\,\,\acute{\eta }\,\,\widehat{B}=135^{\circ}$ .

#5

george visvikis έγραψε: Δευ Ιούλ 20, 2020 8:02 pm είναι η διάμεσος τριγώνου με $\displaystyle \sin B = \frac{c}{a}.$ Αν $A\widehat MB=B\widehat AC,$ να βρείτε τη γωνία $\widehat B.$

Να δούμε και το πιο γρήγορο που νομίζω ότι αναφέρει ο Γιώργος

Προφανώς είναι $\vartriangle ABC\sim \vartriangle MBA\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{c}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow {{\left( \dfrac{c}{a} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\sin }^{2}}B=\dfrac{1}{2}\overset{B\in \left( 0,\pi \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle B={{45}^{0}}$ ή $\angle B={{135}^{0}}$

#6

Επειδή $\widehat {BAC} = \widehat {AMB} \Rightarrow \widehat {{a_1}} + \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{C_{}}} + \widehat {{\omega _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{C_{}}}}$ . Δηλαδή η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {A,M,C} \right)$ .

Θα ισχύει : $A{B^2} = BM \cdot BC \Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\,\,\left( 1 \right)$

: λόγος και γωνία.png (24.04 KiB) Προβλήθηκε 1296 φορές

Φέρνω το ύψος; AD = h

και θα είναι : $\sin B = \dfrac{h}{c} = \dfrac{c}{a} \Rightarrow ha = {c^2}\,\,\left( 2 \right)$

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω: $\boxed{a = 2h}\,\,\left( 3 \right)$ .

Η κατασκευή $\vartriangle ABC$ για το οποίο ισχύουν οι $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ δίδει ορθογώνιο στο

και ισοσκελές .

Ενδέχεται όμως να είναι : η γωνία στο

,

.

που υπακούει σε όλες τις προδιαγραφές της εκφώνησης .

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #7

Καλημέρα,
Φέρνω τα ύψη

και

.

Είναι $\sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{CE}{a}\Leftrightarrow CE=c$ .

Aπο την ομοιότητα των τριγώνων CBE

και

έχω $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{a}{c}\overset{ED\parallel AM }{\Leftarrow \!\Rightarrow } \dfrac{c}{a/2}=\dfrac{a}{c}\Leftrightarrow a=\sqrt{2}c$

Είναι τώρα $\sin\widehat{B}=\dfrac{c}{a }=\dfrac{c}{\sqrt{2}c}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , επομένως $\widehat{B}=45^{\circ}\,\,\acute{\eta} \,\,\widehat{B}=135^{\circ}$ .

: Λόγος για γωνία.png (28.64 KiB) Προβλήθηκε 1241 φορές

Υγ1: Στις προηγούμενες λύσεις μου (#2,#4) πρόσθεσα την περίπτωση $\widehat{B}=135^{\circ}$ , την οποία προηγουμένως αγνόησα.

Λόγος για γωνία

Λόγος για γωνία

Re: Λόγος για γωνία

Re: Λόγος για γωνία

Re: Λόγος για γωνία

Re: Λόγος για γωνία

Re: Λόγος για γωνία

Re: Λόγος για γωνία

Μέλη σε σύνδεση