Εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Να λυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle{\left( x^2+100 \right)^2 = \left( x^3 -100 \right)^3}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 21, 2020 11:53 pm
Να λυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle{\left( x^2+100 \right)^2 = \left( x^3 -100 \right)^3}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 23, 2020 2:15 am
μην μου πει κάποιος ότι παραβιάζω κανονισμούς. Το ίδιο κάνουν και αυτοί που είναι ταγμένοι για την τήρηση τους.[/hide]

Σταύρο, επειδή έχω περάσει από το πόστο του Γενικού Συντονιστή, πίστεψέ με ότι έχει απίστευτο φόρτο εργασίας, ο οποίος βέβαια γίνεται εθελοντικά.

Οι Γενικοί Συντονιστές έχουν να διαχειριστούν πολλές καταστάσεις που δεν φτάνουν στην επιφάνεια αλλά τις διαχειρίζονται με ταχύτητα και επαγγελματική αφοσίωση. Και τρώνε πολλές κατσάδες έξω από το φόρουμ για σωστές τους ενέργειες εδώ.

Π.χ. θα θυμούνται μερικοί όταν εμφανίστηκε στο φόρουμ ένας ελληνοαμερικανός παρανοϊκός mathematical crank που αφού έβρισε με απίστευτες βρισιές διάφορους εδώ μέσα (κυρίως εμένα αλλά όχι μόνο) μετά ανάρτησε στο Youtube κάμποσα βίντεο με χυδαία φρασεολογία λιμανιού όπου έλεγε πόσο άσχετοι είμαστε στο mathematica, έβαλε φωτογραφία μου και έδινε την διεύθυνσή μου και το τηλέφωνό μου. Θα με ενοχλούσε αφάνταστα η υπόθεση, αλλά στο τέλος το άφησα να περάσει χωρίς να με ενοχλεί γιατί ο άνθρωπος δεν στέκει στα συγκαλά του και τα Μαθηματικά του είναι επίπεδο μηδενικό. Στο κάτω κάτω έβγαλε άχρηστους τον Νεύτωνα και τον Cauchy, οπότε ας μην έχω παράπονα ο ίδιος.

Θα παραθέσω (κάνω κοπή/αντιγραφή αλλά σβήνω το όνομα) ένα πιο πρόσφατο σχόλιο που έγραψε κάποιος για μένα εδώ στο φόρουμ

ΧΧΧΧΧΧΧ έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 1:20 pm
Αγαπητε κυριε Λαμπρου απο αυτα που γραφετε συμπεραινω οτι ειστε ενας δασκαλακος της δεκαρας. Εγω ειχω PhD απο κορυφαιο Πανεπιστημιο στον κοσμο και ειμαι πρωην Επικουρος Καθηγητης....

Το γράφω αυτό γιατί οι Γενικοί Συντονιστές μερίμνησαν να το αφαιρέσουν (τους ευχαριστώ) λίγη ώρα μετά που αναρτήθηκε.

Για να καταλήξω, καλό είναι να είμαστε επιεικείς στους Γενικούς Συντονιστές και να τους διευκολύνουμε στο έργο τους. Εργάζονται σκληρά για το γενικό καλό.

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #4

Παρακαλώ τον θεματοδότη να αναρτήσει τη λύση.

Ratio · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 21, 2020 11:53 pm
Να λυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle{\left( x^2+100 \right)^2 = \left( x^3 -100 \right)^3}$

Παραθέτω μία εμπειρική λύση , που δεν ξέρω αν είναι και απόλυτα σωστή στο σύνολο του σκεπτικού της

Θα πρέπει $x^3-100 >0 \Lefrightarrow x>\sqrt[3]{x}$ , άρα x>2

, για

που αποτελεί και λύση καθώς και τα δύο μέλη έχουν αποτέλεσμα 5^6

Το πρόβλημά μου είναι η μοναδικότητα της λύσης και η δυσκολία να αποδειχθεί ότι είναι 1-1 . Θεωρώ
f(x)=(x^3-100)^3-(x^2+100)^2=[(x-5)(x^2+5x+25)+25]^3-[(x-5)^2+20x]^2=

$//\pi \lambda (x-5)+25^3-400x^2, x>2$

Για $f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow \pi \lambda (x_1-5)+25^3-400x_1^2=\pi\lambda(x_2-5)+25^3-400x_2^2`\Leftrightarrow x_1=x_2$ ή x_1=-x_2

. Εφόσον όμως λύνουμε για x>2

, οι

είναι αδύνατο να είναι αντίθετοι

#6

Ratio έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 25, 2020 5:25 am

Για $f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow \pi \lambda (x_1-5)+25^3-400x_1^2=\pi\lambda(x_2-5)+25^3-400x_2^2`\Leftrightarrow x_1=x_2$ ή .

Αυτό φυσικά δεν ισχύει για τετριμμένους λόγους. Π.χ. για f(x)=(602-299x)(x-5)+ 25^3-400x^2

έχουμε

(επαλήθευση: $f(1)=303\cdot (-4)+ 25^3-400= -1612+25^3$ και $f(2)=4\cdot (-3)+25^3-1600 = -1612+25^3$ , ίσο με το προηγούμενο). Πλην όμως εδώ φυσικά δεν έχουμε $x_1=\pm x_2$ .

Αλλά και σωστό να ήταν, δεν είναι αποδεκτό ως απόδειξη γιατί είναι ισοδύναμο με το αποδεικτέο. Δηλαδή μεταφέραμε το αποδεικτέο σε άλλο που είναι ουσιστικά το ίδιο. Αν δεν υπάρχει αυστηρή απόδειξη της μιας ή τη άλλης ισοδύναμης μορφής, δεν κάναμε τιποτα.

kkala · #7

Σχετικά με το #3 (Michalis_Lambrou), θυμάμαι παρόμοιο περιστατικό πριν από λίγους μήνες. Όταν στο mathematica.gr γράφτηκε καλόπιστη κριτική για το δοκίμιο κάποιου μέλους, αυτός (το μέλος) αντέδρασε εριστικά αντί να ευχαριστήσει. Σαν κοινωνία έχουμε σε ανησυχητικό βαθμό το ελάττωμα να εκνευριζόμαστε (όχι όλοι βέβαια) όταν κάποιος δεν συμφωνεί με μας, έστω και αν ο τελευταίος έχει δίκιο. Η συμπεριφορά του forum σε τέτοιες περιπτώσεις φαίνεται επιεικής, ιδίως σε νέους ανθρώπους. Τούτο δυστυχώς δεν είναι αυτονόητο σε κάθε forum.
Αν όμως πίσω από το γράψιμο κρύβεται κάποιο ψυχολογικό πρόβλημα ή συμφέρον? Ο νόμος περί τύπου φαίνεται να έχει πολλές δυσκολίες εφαρμογής, όσον αφορά τις ομάδες συζητήσεων. Εδώ επεμβαίνουν οι συντονιστές (moderators), ώστε να έχουμε μια κατά το δυνατόν αντικειμενική παρουσίαση, χωρίς εκνευρισμούς που απομακρύνουν την αλήθεια που ψάχνουμε. Πράγμα που απαιτεί γνώση, λεπτότητα και ευθυκρισία. Υποθέτω ότι θέλει αρκετή φροντίδα για να ανιχνευθεί και απομακρυνθεί μια κακόβουλη δημοσίευση, στο Youtube ή αλλού.
Σημειώνεται ότι συχνά κώδικες δεοντολογίας επαγγελματικών ενώσεων ζητούν όλα τα μέλη να είναι αμερόληπτα (impartial), που προφανώς αφορά και τα παραπάνω.
Έχοντας μια μικρή (πικρή) πείρα από τέτοια θέματα, πιστεύω ότι πολλά επιστημονικά κέντρα συζητήσεων στο εξωτερικό θα "ζήλευαν" το mathematica.gr, και όχι μόνο γιατί είναι αφιλοκερδές. Σαν κοινωνία έχουμε συγκριτικά και κάποια πλεονεκτήματα.

Ratio · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 25, 2020 9:56 am

Ratio έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 25, 2020 5:25 am

Για $f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow \pi \lambda (x_1-5)+25^3-400x_1^2=\pi\lambda(x_2-5)+25^3-400x_2^2`\Leftrightarrow x_1=x_2$ ή .

Αυτό φυσικά δεν ισχύει για τετριμμένους λόγους. Π.χ. για έχουμε

(επαλήθευση: $f(1)=303\cdot (-4)+ 25^3-400= -1612+25^3$ και $f(2)=4\cdot (-3)+25^3-1600 = -1612+25^3$ , ίσο με το προηγούμενο). Πλην όμως εδώ φυσικά δεν έχουμε $x_1=\pm x_2$ .

Αλλά και σωστό να ήταν, δεν είναι αποδεκτό ως απόδειξη γιατί είναι ισοδύναμο με το αποδεικτέο. Δηλαδή μεταφέραμε το αποδεικτέο σε άλλο που είναι ουσιστικά το ίδιο. Αν δεν υπάρχει αυστηρή απόδειξη της μιας ή τη άλλης ισοδύναμης μορφής, δεν κάναμε τιποτα.

Και εγώ το έγραψα με κάθε επιφύλαξη, επειδή δεν έπαιρνα ξεκάθαρα πρόσημα όταν παραγοντοποιούσα. Απλά επειδή έπρεπε να υπάρχει και μια πιθανή εεκτίμηση της μοναδικότητας της ρίζας , είπα να το βάλω .

Tolaso J Kos · #9

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2020 5:45 pm
Παρακαλώ τον θεματοδότη να αναρτήσει τη λύση.

Αφού με παρακαλάς....

Είναι προφανές ότι για $x \leq \sqrt[3]{100}$ η εξίσωση είναι αδύνατη αφού το αριστερό μέλος είναι θετικό , ενώ το δεξιό είναι αρνητικό ή μηδέν. Συνεπώς αναζητούμε λύση στο $[\sqrt[3]{100}, +\infty)$ . Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left( x^2+100 \right)^2 = \left( x^3 -100 \right)^3 &\Leftrightarrow \sqrt[6]{\left ( x^2+100 \right )^2} = \sqrt[6]{\left ( x^3-100 \right )^3} \\ &\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+100} = \sqrt{x^3-100} \end{aligned}}$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \sqrt[3]{x^2+100}}$ η οποία είναι 1-1

με αντίστροφη $g^{-1}(x) = \sqrt{x^3-100}$ . Από την άλλη η

είναι και γνησίως αύξουσα άρα:

$\displaystyle{\begin{aligned} g(x) = g^{-1}(x) &\Leftrightarrow g(x) = x \\ &\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+100} = x \\ &\Leftrightarrow x^2 + 100 = x^3\\ &\Leftrightarrow x^3 - x^2 -100 =0 \\ &\Leftrightarrow x=5 \end{aligned}}$

M.S.Vovos · #10

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 25, 2020 1:56 pm

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2020 5:45 pm
Παρακαλώ τον θεματοδότη να αναρτήσει τη λύση.

Αφού με παρακαλάς....

Είναι προφανές ότι για $x \leq \sqrt[3]{100}$ η εξίσωση είναι αδύνατη αφού το αριστερό μέλος είναι θετικό , ενώ το δεξιό είναι αρνητικό ή μηδέν. Συνεπώς αναζητούμε λύση στο $[\sqrt[3]{100}, +\infty)$ . Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \left( x^2+100 \right)^2 = \left( x^3 -100 \right)^3 &\Leftrightarrow \sqrt[6]{\left ( x^2+100 \right )^2} = \sqrt[6]{\left ( x^3-100 \right )^3} \\ &\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+100} = \sqrt{x^3-100} \end{aligned}}$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \sqrt[3]{x^2+100}}$ η οποία είναι με αντίστροφη $g^{-1}(x) = \sqrt{x^3-100}$ . Από την άλλη η είναι και γνησίως αύξουσα άρα:

$\displaystyle{\begin{aligned} g(x) = g^{-1}(x) &\Leftrightarrow g(x) = x \\ &\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2+100} = x \\ &\Leftrightarrow x^2 + 100 = x^3\\ &\Leftrightarrow x^3 - x^2 -100 =0 \\ &\Leftrightarrow x=5 \end{aligned}}$

Ωραία κατασκευή Τόλη! Δίκη σου;

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #11

Η άσκηση γενικεύεται ως εξής: $(x^{a}+c)^{a}=(x^{b}-c)^{b}$ , c> 0

και καταλήγουμε στην εξίσωση $x^{b}-x^{a}-c=0$ .

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση