Μέγιστο γινόμενο 7

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Σημείο

κινείται στη διάμετρο AB=d

, ημικυκλίου . Γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλιο διαμέτρου

,

προς το οποίο φέρουμε την εφαπτομένη

, η οποία προεκτεινόμενη τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο σημείο

.

Έστω ακόμη ,

, η προβολή του

στην

.

α) Συγκρίνατε τα τμήματα TP , TQ

. ...β) Υπολογίστε ( με όποιον τρόπο ) το μέγιστο του γινομένου : $BT\cdot TP$

#2

Για το πρώτο

Έχω εσωτερική επαφή δύο κύκλων άρα η

διχοτομεί την $\widehat {BAP}$ οπότε TQ = TP

.

Το δεύτερο μετά το μεσημεριανό ύπνο αλλά θα έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 02, 2020 10:43 am
Μέγιστο γινόμενο.pngΣημείο κινείται στη διάμετρο , ημικυκλίου . Γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε την εφαπτομένη , η οποία προεκτεινόμενη τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο σημείο .

Έστω ακόμη , , η προβολή του στην .

α) Συγκρίνατε τα τμήματα . ...β) Υπολογίστε ( με όποιον τρόπο ) το μέγιστο του γινομένου : $BT\cdot TP$

Για το β) Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου AS=2r

και

Είναι

και

: Μέγιστο γινόμενο 7.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

$\displaystyle \frac{{KT}}{{AP}} = \frac{{BK}}{{BA}} \Leftrightarrow \frac{r}{{AQ}} = \frac{{x + r}}{d} \Leftrightarrow AQ = \frac{{dr}}{{x + r}}.$ Αλλά, $\displaystyle r = \frac{{d - x}}{2},$ οπότε $\displaystyle AQ = \frac{{d(d - x)}}{{x + d}}$

$\displaystyle BT \cdot TP = BT \cdot TQ = \sqrt {xd} \sqrt {AQ(2r - AQ)} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{BT \cdot TP = \frac{{{d^2}x - d{x^2}}}{{x + d}}},$ όπου με

παραγώγους βρίσκω ότι παρουσιάζει για $\boxed{ x = d(\sqrt 2 - 1)}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{ {(BT \cdot TP)_{\max }} = {d^2}(3 - 2\sqrt 2 )}$

#4

α)

Έχω εσωτερική επαφή δύο κύκλων άρα η

διχοτομεί την $\widehat {BAP}$ οπότε TQ = TP

.

β)

Θέτω : $TQ = TP = m\,\,,\,\,TB = n\,\,,\,AQ = AP = u\,\,,\,\,SQ = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = x\,\,$

Επειδή η

είναι διχοτόμος της $\widehat {QTB}$ η τετράδα : $\left( {Q,B\backslash A,S} \right)$ είναι αρμονική.

Από την αρμονική αναλογία , $\dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{{AQ}}{{AB}}$ έχω: $\left\{ \begin{gathered} k = \frac{{x\left( {d - x} \right)}}{{d + x}} \hfill \\ u = \frac{{d\left( {d - x} \right)}}{{d + x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\left( M \right)$

: Μέγιστο γινόμενο_7.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Στο $\vartriangle PAB$ η

είναι διχοτόμος και άρα:

$A{T^2} = AB \cdot AP - TB \cdot TP \Rightarrow A{T^2} = du - mn \Rightarrow mn = du - A{T^2}$ . Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle TAS$ και τις σχέσεις $\left( M \right)$ έχω:

$\boxed{mn = f(x) = \frac{{d\left( {d - x} \right)x}}{{d + x}}}$ τα υπόλοιπα όπως πιο πάνω από το Γιώργο .

Μια παρατήρηση : όταν έχω μέγιστο στην

, $AQ = SB\,\,\left( {x = u} \right)$

#5

Παραλλαγή για το β)

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB = d

. Σημείο

διατρέχει το ημικύκλιο . Αν

η διχοτόμος του $\vartriangle PAB$

να βρείτε το μέγιστο του γινομένου : $TP \cdot TB$

: Μέγιστο γινόμενο_7_παραλλαγή_1.png (33.91 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

και

το σημείο της

που η παράλληλη από το

στην

, τέμνει αυτή.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και αφού TS//PQ

έχω:

$\dfrac{x}{n} = \dfrac{k}{m} = \dfrac{m}{u} \Rightarrow mn = ux\,\,\left( 1 \right)$ . Από την αρμονική αναλογία :

$\dfrac{k}{u} = \dfrac{x}{d} \Rightarrow \dfrac{{k + u}}{u} = \dfrac{{d + x}}{d} \Rightarrow \dfrac{{d - x}}{u} = \dfrac{{d + x}}{d} \Rightarrow \boxed{u = \frac{{d\left( {d - x} \right)}}{{d + x}}}$ και ή (1)

δίδει:

$\boxed{f(x) = mn = \frac{{d\left( {d - x} \right)x}}{{d + x}}}$ κ.λ.π.

Μέγιστο γινόμενο 7

Μέγιστο γινόμενο 7

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

Re: Μέγιστο γινόμενο 7

Μέλη σε σύνδεση