Σταθερό εμβαδόν

#1

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{x\ln x}}$ με $\displaystyle x > 1$ , τον $\displaystyle x'x$ και τις ευθείες $\displaystyle x = a,x = {a^e}$ , έχει σταθερή τιμή για κάθε $\displaystyle a > 1$

#2

exdx έγραψε: Τετ Σεπ 02, 2020 6:09 pm Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{x\ln x}}$ με $\displaystyle x > 1$ , τον $\displaystyle x'x$ και τις ευθείες $\displaystyle x = a,x = {a^e}$ , έχει σταθερή τιμή για κάθε $\displaystyle a > 1$

Γεια σου Γιώργη!

$\displaystyle \int_a^{{a^e}} {\frac{1}{{x\ln x}}dx = \left[ {\ln (\ln x)} \right]} _a^{{a^e}} = \ln (\ln {a^e}) - \ln (\ln a) = \ln \left( {\frac{{e\ln a}}{{\ln a}}} \right) = \ln e = 1$

Μάρκος Βασίλης · #3

Και μία λύση με την παλαιότερη ύλη. Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$\displaystyle{G(a)=\int_a^{a^e}\frac{1}{x\ln x}dx=\int_3^{a^e}\frac{1}{x\ln x}dx-\int_3^a\frac{1}{x\ln x}dx,\ a>1.}$

Η

είναι παραγωγίσιμη αφού η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι συνεχής και τα άκρα της είναι επίσης παραγωγίσιμες συναρτήσεις, επομένως έχουμε:

$\displaystyle{G'(a)=\frac{ea^{e-1}}{a^e\ln a^e}-\frac{1}{a\ln a}=\frac{e}{ea\ln a}-\frac{1}{a\ln a}=\frac{1}{a\ln a}-\frac{1}{a\ln a}=0,}$

άρα η

είναι σταθερή.

Σταθερό εμβαδόν

Σταθερό εμβαδόν

Re: Σταθερό εμβαδόν

Re: Σταθερό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση