Πήγαινε – έλα

#1

Καλησπέρα σε όλους. Χαίρομαι πού σάς άρεσε το πρόβλημα ΕΔΩ.
Γι' αυτό προτείνω ακόμα ένα σχετικό πρόβλημα:

Οδηγούσαμε

ώρες. Ξεκινήσαμε από ένα χωριό στον κάμπο, ανεβήκαμε στο βουνό και επιστρέψαμε από τον ίδιο δρόμο. Στη διαδρομή ο Νίκος περιεργαζόταν τον ηλεκτρονικό πλοηγό ταξιδιού (navigator). Όταν επιστρέψαμε, τον ρωτήσαμε πόσα χιλιόμετρα είχαμε κάνει και μάς απάντησε με έναν γρίφο:
«Στην ευθεία είχαμε μέση ταχύτητα 48 km/h

. Στην ανηφόρα 40 km/h

και στην κατηφόρα 60 km/h

. Δεν σας λέω πόσα χιλιόμετρα κάναμε, ούτε πόσα χιλιόμετρα ήταν η ανηφόρα και πόσα η ευθεία. Παρ’ όλα αυτά μπορείτε να βρείτε πόσα χιλιόμετρα κάναμε στο σύνολο. Α! και μη χαίρεστε πολύ. Αν ήταν διαφορετικές οι ταχύτητές μας, μάλλον δεν θα μπορούσατε».
Τι εννοεί ο Νίκος; Ποια ήταν η μέση ταχύτητά μας;

Εδώ, ομολογώ ότι δεν έχω βρει "πρακτική λύση" (εννοώντας την αποφυγή απροκάλυπτης χρήσης μεταβλητών...). Το αφήνω ως ανοιχτή πρόκληση..

Πάντως, ασχοληθείτε και με τη γενική περίπτωση: (

ολική διαδρομή,

ανηφόρα και ταχύτητες u_1, u_2, u_3

αντίστοιχα) και ελέγξτε τη συνθήκη ώστε να προσδιοριστεί το

με απροσδιόριστο το

. Έχει ενδιαφέρον.

#2

Γεια σου Γιώργο

Γενικά : η ταχύτητα στην ευθεία πρέπει να είναι ο αρμονικός μέσος των άλλων δύο.

Αν $\displaystyle s$ είναι η ολική διαδρομή , $\displaystyle y$ η ανηφόρα και $\displaystyle t$ ο ολικός χρόνος, τότε για τους επιμέρους χρόνους κίνησης ισχύει η σχέση :
$\displaystyle \begin{array}{l} 2\frac{{s - y}}{{{u_1}}} + \frac{y}{{{u_2}}} + \frac{y}{{{u_3}}} = t \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2(s - y){u_3}{u_2} + y{u_1}{u_3} + y{u_2}{u_1} = t{u_1}{u_2}{u_3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2s{u_3}{u_2} - 2y{u_3}{u_2} + y{u_1}{u_3} + y{u_2}{u_1} = t{u_1}{u_2}{u_3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y( - 2{u_3}{u_2} + {u_1}{u_3} + {u_2}{u_1}) = t{u_1}{u_2}{u_3} - 2s{u_3}{u_2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y\left( {\frac{{ - 2}}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}}} \right) = t - \frac{{2s}}{{{u_1}}} \end{array}$

Αν τώρα , $\displaystyle \frac{-2}{{{u}_{1}}}+\frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}\ne 0$ , τότε για τον υπολογισμό του $\displaystyle y$ , θα έπρεπε να γνωρίζουμε και το $\displaystyle s$ .
Αν όμως $\displaystyle \frac{-2}{{{u}_{1}}}+\frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{{u}_{2}}}+\frac{1}{{{u}_{3}}}=\frac{2}{{{u}_{1}}}$ , (οπότε προκύπτει ο αρμονικός μέσος) τότε και $\displaystyle t-\frac{2s}{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow s=\frac{{{u}_{1}}t}{2}$ , άρα υπολογίζουμε το $\displaystyle s$ . Το $\displaystyle y$ όμως δεν μπορεί να βρεθεί .

Ratio · #3

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας , δεδομένου ότι θεωρείται ως μόνη δύναμη το βάρος του με ανυπαρξία τριβών το βουνό έχει δύο διαφορετικά ύψη. Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση

Κατά την άνοδο : $\frac{1}{2}m48^2=\frac{1}{2}m40^2+mgh\Leftrightarrow 48^2-40^2=2gh\Leftrightarrow h=\frac{8*88}{20}$

Κατά την κάθοδο: $\frac{1}{2}m40^2+mgh=\frac{1}{2}m60^2\Leftrightarrow 2gh=20*100\Leftrightarrow h=100$

#4

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 5:45 am
Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας , δεδομένου ότι θεωρείται ως μόνη δύναμη το βάρος του με ανυπαρξία τριβών το βουνό έχει δύο διαφορετικά ύψη. Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση

Κατά την άνοδο : $\frac{1}{2}m48^2=\frac{1}{2}m40^2+mgh\Leftrightarrow 48^2-40^2=2gh\Leftrightarrow h=\frac{8*88}{20}$

Κατά την κάθοδο: $\frac{1}{2}m40^2+mgh=\frac{1}{2}m60^2\Leftrightarrow 2gh=20*100\Leftrightarrow h=100$

Καλημέρα σε όλους.

Αγαπητέ Ratio, φαντάζομαι ότι έγραψες παραπάνω εμπίπτει στο ευρύ πλαίσιο που επιτρέπει ο φάκελος "Διασκεδαστικών Μαθηματικών".

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ratio · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 9:26 am

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 5:45 am
Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας , δεδομένου ότι θεωρείται ως μόνη δύναμη το βάρος του με ανυπαρξία τριβών το βουνό έχει δύο διαφορετικά ύψη. Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση

Κατά την άνοδο : $\frac{1}{2}m48^2=\frac{1}{2}m40^2+mgh\Leftrightarrow 48^2-40^2=2gh\Leftrightarrow h=\frac{8*88}{20}$

Κατά την κάθοδο: $\frac{1}{2}m40^2+mgh=\frac{1}{2}m60^2\Leftrightarrow 2gh=20*100\Leftrightarrow h=100$
Καλημέρα σε όλους.

Αγαπητέ Ratio, φαντάζομαι ότι έγραψες παραπάνω εμπίπτει στο ευρύ πλαίσιο που επιτρέπει ο φάκελος "Διασκεδαστικών Μαθηματικών".

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ορισμοί, βιβλίο Φυσικής Α΄ Λυκείου:
Αν ένα σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του η μηχανική του ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή.

Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος ή ενός συστήματος διατηρείται όταν οι δυνάμεις που δρουν σ' αυτό είναι όλες συντηρητικές.

Το αμάξι μας είχε και μηχανή (πώς αλλιώς να ανεβεί στο βουνό;) και φρένα και καλά λάστιχα (μπόλικη τριβή).

Να θυμίσω 'οτι ο τυπος της τριβής για το μεν οριζοντιο επιπεδο είναι $T=mg\mu$ όπου $\mu$ ο συντελεστής τριβής , στα δε κεκλιμενα $T=mgcos\phi\mu$ . Αλλά εφόσον δεν δίνεται κανένα στοιχείο όσον αφορά τις εξωτερικές δυνάμεις που ασκήθηκαν δεν έχουμε παρά να θεωρήσουμε την κίνηση ευθύγραμμη ομαλή με μόνη επίδραση το βάρος

#6

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 3:34 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 9:26 am

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 5:45 am
Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας , δεδομένου ότι θεωρείται ως μόνη δύναμη το βάρος του με ανυπαρξία τριβών το βουνό έχει δύο διαφορετικά ύψη. Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση

Κατά την άνοδο : $\frac{1}{2}m48^2=\frac{1}{2}m40^2+mgh\Leftrightarrow 48^2-40^2=2gh\Leftrightarrow h=\frac{8*88}{20}$

Κατά την κάθοδο: $\frac{1}{2}m40^2+mgh=\frac{1}{2}m60^2\Leftrightarrow 2gh=20*100\Leftrightarrow h=100$
Καλημέρα σε όλους.

Αγαπητέ Ratio, φαντάζομαι ότι έγραψες παραπάνω εμπίπτει στο ευρύ πλαίσιο που επιτρέπει ο φάκελος "Διασκεδαστικών Μαθηματικών".

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ορισμοί, βιβλίο Φυσικής Α΄ Λυκείου:
Αν ένα σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του η μηχανική του ενέργεια παραμένει συνεχώς σταθερή.

Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος ή ενός συστήματος διατηρείται όταν οι δυνάμεις που δρουν σ' αυτό είναι όλες συντηρητικές.

Το αμάξι μας είχε και μηχανή (πώς αλλιώς να ανεβεί στο βουνό;) και φρένα και καλά λάστιχα (μπόλικη τριβή).

Να θυμίσω 'οτι ο τυπος της τριβής για το μεν οριζοντιο επιπεδο είναι $T=mg\mu$ όπου $\mu$ ο συντελεστής τριβής , στα δε κεκλιμενα $T=mgcos\phi\mu$ . Αλλά εφόσον δεν δίνεται κανένα στοιχείο όσον αφορά τις εξωτερικές δυνάμεις που ασκήθηκαν δεν έχουμε παρά να θεωρήσουμε την κίνηση ευθύγραμμη ομαλή με μόνη επίδραση το βάρος

Επειδή εξακολουθώ να πιστεύω ότι κάνετε πλάκα (τρολάρετε) το θέμα, για το οποίο αναλαμβάνω την ευθύνη της κατασκευής-δημοσίευσης (άρα και της διατύπωσης), προτείνω είτε να διαγράψετε τα παραπάνω (κι εγώ θα διαγράψω τις παραθέσεις), είτε να ασχοληθείτε με την ουσία του προβλήματος, αν και ο Γιώργης έχει ήδη δώσει τη γενική λύση.
Υπενθυμίζω ότι δεν αναφέρομαι σε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, αλλά μιλώ για μέση ταχύτητα.

Ratio · #7

Κύριε Ρίζο δεν σας τρολλαρω αλλά επειδή σας σέβομαι και σας εκτιμώ σας επισημαίνω ότι το πρόβλημα έχει ελλειπή στοιχεία. Το πρόβλημα στο οποίο αναφέρεστε είχε ως δεδομένο ότι η ίδια απόσταση μπορεί να καλυφθεί σε τρεις διαφορετικούς χρόνους ανάλογα με τα εμπόδια . Η επίλυση εφόσον δίνεται μέση ταχύτητα $U_{m}=\frac{S_{all}}{t_{all}}$ ,( όπου στο $t_{all}$ υπολογίζονται ακόμα και οι στάσεις όχι μόνο τα διαστήματα κίνησης) αναγκαστικά θα θέσει τον λύτη στη χρήση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης διαφορετικά θα έπρεπε να πούμε ότι αν S_1.S_2,S_3

είναι τα διαστήματα τότε το μεν S_1=48t_1

, $S_2=48t_2-\frac{1}{2}at_2^2$ και $S_3=40t_3+\frac{1}{2}a_1t_3^2$ .

Στην αναζήτηση της μέσης επιβράδυνσης κατά την άνοδο θα είχαμε $a=\frac{du}{dt_2}=\frac{40-48}{t_2}=-\frac{-8}{t_2}$ κλπ κλπ.
Σας ευχαριστώ και για να γίνω πιο σαφής σας παραπέμπω viewtopic.php?f=21&t=67795]

kkala · #8

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε άκρη, με τα σύμβολα S, y (σε km) όπως ορίζονται στο #1 (Γιώργος Ρίζος). Η εξίσωση από τα δεδομένα (φάσεις τις διαδρομής: ευθεία, ανηφόρα, κατηφόρα, ευθεία):
$\small (S-y)/48+y/40+y/60+(S-y)/48=6$ ή $\small (S-y)/12+y/20+y/30=12$ ή $\small S/12=12+y/12-y/20-y/30$ ή $\small S/12=12+0y=12$ , επομένως $\small S=144$ και μέση ταχύτητα $\small 144/6=24$ km/h για τη συνολική διαδρομή.
Τυχαίνει παραπάνω $\small y/12-y/20-y/30=0$ (μηδενίζεται ο συντελεστής του $\small y$ )
και θυμόμαστε τα λόγια του Νίκου : αν ήταν διαφορετικές οι ταχύτητες, μάλλον δεν θα μπορούσατε.

#9

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm
Κύριε Ρίζο δεν σας τρολλαρω αλλά επειδή σας σέβομαι και σας εκτιμώ σας επισημαίνω ότι το πρόβλημα έχει ελλειπή στοιχεία.

Σε ευχαριστώ για τη διαβεβαίωση και τα καλά σου λόγια. Επειδή το πρόβλημα συμπεριλαμβάνεται σε βιβλίο που κυκλοφορεί μερικά χρόνια και συνυπογράφω, θα ήμουν ευτυχής αν περιέγραφες αναλυτικά ποια στοιχεία λείπουν, κατά τη γνώμη σου.

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm
Το πρόβλημα στο οποίο αναφέρεστε είχε ως δεδομένο ότι η ίδια απόσταση μπορεί να καλυφθεί σε τρεις διαφορετικούς χρόνους ανάλογα με τα εμπόδια .

Το γνωρίζω. Βρίσκεται στο ίδιο βιβλίο που ανάφερα παραπάνω.

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm
Η επίλυση εφόσον δίνεται μέση ταχύτητα $U_{m}=\frac{S_{all}}{t_{all}}$ ,( όπου στο $t_{all}$ υπολογίζονται ακόμα και οι στάσεις όχι μόνο τα διαστήματα κίνησης) αναγκαστικά θα θέσει τον λύτη στη χρήση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης διαφορετικά θα έπρεπε να πούμε ότι αν είναι τα διαστήματα τότε το μεν , $S_2=48t_2-\frac{1}{2}at_2^2$ και $S_3=40t_3+\frac{1}{2}a_1t_3^2$ .

Εδώ αρχίζω και το χάνω. Γιατί όταν δίνω μέση ταχύτητα αναγκαστικά "τίθεται ο λύτης στη χρήση ευθύγραμμης κίνησης";

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm
Στην αναζήτηση της μέσης επιβράδυνσης κατά την άνοδο θα είχαμε $a=\frac{du}{dt_2}=\frac{40-48}{t_2}=-\frac{-8}{t_2}$ κλπ κλπ.
Σας ευχαριστώ και για να γίνω πιο σαφής σας παραπέμπω viewtopic.php?f=21&t=67795]

Εδώ το χάνω εντελώς. Στην παραπομπή έχω δώσει δύο λύσεις. Το θέμα αυτό ήταν η αφορμή τις επόμενες ασκήσεις. Εννοείς ότι είναι όλα λάθος ή μόνο εδώ υπάρχει λάθος;

Στο ίδιο βιβλίο που αναφέρω, έχουμε συμπεριλάβει το πασίγνωστο (σχετικό) πρόβλημα του Wertheimer προς τον Einstein.

Ένα παλιό αυτοκίνητο πρόκειται να διανύσει μια απόσταση ενός μιλίου, προς την κορυφή ενός λόφου και να επιστρέψει. Λόγω παλαιότητας δεν μπορεί να διανύσει το πρώτο μίλι – την άνοδο – γρηγορότερα από μια μέση ταχύτητα μιλίων την ώρα.
Ερώτηση: Με ποια ταχύτητα πρέπει να καλύψει το δεύτερο μίλι – στην κάθοδο μπορεί φυσικά να πάει γρηγορότερα – ώστε να επιτύχει μέση ταχύτητα (για τη συνολική απόσταση) μιλίων την ώρα;

Πιστεύεις ότι αυτό είναι σωστά διατυπωμένο ή όχι;

kkala · #10

Η ανάρτηση #8 (kkala) έχει κάποιο λάθος, διότι βγάζει μέση ταχύτητα μικρότερη από όλες τις επι μέρους ταχύτητες. Το λάθος αφορά την εξίσωση από τα δεδομένα του προβλήματος, που θάπρεπε να είναι (αφού S=συνολική διαδρομή).
(S-2y)/48+y/40+y/60=6

, όπου το $\small S-2y$ αφορά τη συνολική ευθεία διαδρομή (πήγαινε έλα)
Η διορθωμένη εξίσωση καταλήγει σε S/48=6+0y

, δηλαδή $\small S=288$ ( σε km). Άρα συνολική μέση ταχύτητα $\small 48$ km/h.
Τα λόγια του Νίκου φαίνεται να ισχύουν ακόμα.

Ratio · #11

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 11:12 pm

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm

Σε ευχαριστώ για τη διαβεβαίωση και τα καλά σου λόγια. Επειδή το πρόβλημα συμπεριλαμβάνεται σε βιβλίο που κυκλοφορεί μερικά χρόνια και συνυπογράφω, θα ήμουν ευτυχής αν περιέγραφες αναλυτικά ποια στοιχεία λείπουν, κατά τη γνώμη σου.
Σας διαβεβαιώ ότι όσες παρεμβάσεις ή αναρτήσεις κάνω ποτέ δεν έχουν ως σκοπό το τρολάρισμα ή την διακωμώδηση. Κατανοώ απόλυτα τις επιφυλάξεις σας δεδομένου ότι και εγώ έχω διαβάσει αναρτήσεις σχολιαστών με "εξυπνακίστικο" και άθλιο ύφος . Δεν ανήκω σε αυτή την κατηγορία των σχολιαστών όπως καταλαβαίνετε.

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm
Η επίλυση εφόσον δίνεται μέση ταχύτητα $U_{m}=\frac{S_{all}}{t_{all}}$ ,( όπου στο $t_{all}$ υπολογίζονται ακόμα και οι στάσεις όχι μόνο τα διαστήματα κίνησης) αναγκαστικά θα θέσει τον λύτη στη χρήση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης διαφορετικά θα έπρεπε να πούμε ότι αν είναι τα διαστήματα τότε το μεν , $S_2=48t_2-\frac{1}{2}at_2^2$ και $S_3=40t_3+\frac{1}{2}a_1t_3^2$ .
Εδώ αρχίζω και το χάνω. Γιατί όταν δίνω μέση ταχύτητα αναγκαστικά "τίθεται ο λύτης στη χρήση ευθύγραμμης κίνησης";

Ratio έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 6:38 pm

Από έλλειψη πληροφόρησης αναγκαστικά. Εφόσον δεν μας δίνει άλλα δεδομένα θα δεχθούμε ότι αν το όχημα κινούνταν με σταθερή ταχύτητα θα κάλυπτε την απόσταση στον ίδιο χρόνο. Ετσι αντιμετωπίστηε και από τον προηγούμενο λύτη (στην ίδια ανάρτηση) αλλά και στην άσκηση που αναφέρθηκα

Στην αναζήτηση της μέσης επιβράδυνσης κατά την άνοδο θα είχαμε $a=\frac{du}{dt_2}=\frac{40-48}{t_2}=-\frac{-8}{t_2}$ κλπ κλπ.
Σας ευχαριστώ και για να γίνω πιο σαφής σας παραπέμπω viewtopic.php?f=21&t=67795]
Εδώ το χάνω εντελώς. Στην παραπομπή έχω δώσει δύο λύσεις. Το θέμα αυτό ήταν η αφορμή τις επόμενες ασκήσεις. Εννοείς ότι είναι όλα λάθος ή μόνο εδώ υπάρχει λάθος;

Στο ίδιο βιβλίο που αναφέρω, έχουμε συμπεριλάβει το πασίγνωστο (σχετικό) πρόβλημα του Wertheimer προς τον Einstein.

Η επιτάχυσνση ή η επιβράδυνση είναι ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Επομένως αν πριν ξεκινήσει να ανεβαίνει το όχημα είχε ταχύτητα και φτάνοντας στην κορυφή η ταχύτητά του μετρήθηκε στα αυτόματα καταλαβαίνουμε ότι λόγω τριβών και βάρους λειτουργούσε μια επιβράδυνση $\frac{U_{final}-U_{prim}}/{dt}$ όπου είναι ο χρόνος που χρειάστηκε για την άνοδο.Και αντιστοίχως έχουμε την επιτάχυνση όταν κατεβαίνει .
Αν συνυπολογίσουμε όλους τους παράγοντες στην κίνηση για να μην μπλέξουμε με τη Φυσική που θα ζητούσε πολύ περισσότερα δεδομένα, για τα Μαθηματικά θα αρκούσαν είτε σχέσεις χρόνων είτε σχέσεις διαστημάτων, όπως φαίνεται και στο συνημμένο.

Ένα παλιό αυτοκίνητο πρόκειται να διανύσει μια απόσταση ενός μιλίου, προς την κορυφή ενός λόφου και να επιστρέψει. Λόγω παλαιότητας δεν μπορεί να διανύσει το πρώτο μίλι – την άνοδο – γρηγορότερα από μια μέση ταχύτητα μιλίων την ώρα.

Πιστεύεις ότι αυτό είναι σωστά διατυπωμένο ή όχι;

Θα το θέσω απλά είτε η κίνηση είναι σε επίπεδο είτε σε κεκλιμένο. Για να διανύσει το πρώτο μίλι, με τη δεδομένη μέση ταχύτητα , θα χρειαστεί χρόνο $t_1\geq \frac{1}{15} hr\geq 4'$ . Για να διανύσει τα 2 μίλια με μέση ταχύτητα 30 miles/hr

θα χρειαστεί συνολικά 4 '

για όλη τη διαδρομή. Επομένως πρέπει να επιστρέψει την πρώτη φορά σε μηδενικό χρόνο .
Ίσως από λάθος είναι το 30 miles/hr

γιατί άν θέσει μέση ταχύτητα συνολικά τα 20 miles/hr

θα έχουμε $\frac{1}{15}+\frac{1}{U_2}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow U_2=30 miles/hr$

#12

Ratio έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:42 am
Ίσως από λάθος είναι το γιατί άν θέσει μέση ταχύτητα συνολικά τα θα έχουμε $\frac{1}{15}+\frac{1}{U_2}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow U_2=30 miles/hr$

Kαλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με το πρόβλημα.

Ζητώντας συγνώμη από τον Ratio για την υποψία που δημόσια εξέφρασα, και απαντώντας στην απορία του: "Ίσως είναι λάθος το 30 miles/hr

, αναρτώ ολόκληρη την παράγραφο(*) που αναφέρεται στο εξαιρετικό αυτό πρόβλημα, που διασκέδασε τον A. Einstein.

(*) Σελίδες 48-54 από την Οδό Μαθηματικής Σκέψης

Ελπίζω κι εύχομαι, όσοι δεν το γνωρίζετε να το βρείτε διασκεδαστικό και όσοι το γνωρίζετε ήδη να βρείτε ενδιαφέροντα τα σχόλια και τις προεκτάσεις.

Αγαπητέ Ratio, παρατήρησε ότι η απάντηση που δίνεις παραπάνω ταυτίζεται με το σχόλιο που κάνουμε στην παρ. 5.2 σελ. 51!

Τώρα, όσον αφορά τις παρατηρήσεις για την εμπλοκή των νόμων της φυσικής σε τέτοια προβλήματα, να σημειώσω ότι μάς απασχόλησαν (με τον Γιάννη Θωμαΐδη) στο σχετικό κεφάλαιο και έχουμε κάνει κάποιες σχετικές νήξεις. Δες τα "μαρκαρισμένα" με κίτρινο σχόλια στο συνημμένο Pages from Οδός Μαθηματικής Σκέψης 23-25, 42-43.

Ειδικότερα εδώ, όμως, θεωρώ ότι δεν τίθεται θέμα ρεαλιστικότητας, εφόσον χρησιμοποιούμε την έννοια της μέσης ταχύτητας, όπως την ορίζει το βιβλίο Φυσικής της Α' Λυκείου:

Στην καθημερινή ζωή οι συνηθισμένες κινήσεις δεν είναι ευθύγραμμες ομαλές.
Πώς θα μελετήσουμε τις κινήσεις αυτές; Πώς θα απαντήσουμε στο ερώτημα: με τι ταχύτητα διανύει το αυτοκίνητο τη διαδρομή Αθήνα - Θεσσαλονίκη;
Στις “μη ομαλές” κινήσεις η ταχύτητα αλλάζει, δεν είναι η ίδια σε όλη τη χρονική διάρκεια της κίνησης. Δηλαδή το πηλίκο παίρνει διαφορετικές τιμές κατά τη διάρκεια της μετατόπισης του αυτοκινήτου από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη.
Οπότε, για να απαντήσουμε στο παραπάνω ερώτημα, πρέπει να “κατασκευάσουμε” μια νέα έννοια. Αυτή η νέα έννοια σχετίζεται με τη συνολική απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο και τη συνολική χρονική διάρκεια κίνησής του.
To πηλίκο αυτό το ονομάζουμε μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου και το συμβολίζουμε με Δηλαδή:

H μέση ταχύτητα είναι μονόμετρο μέγεθος και μας δείχνει απλά με πόση “περίπου” ταχύτητα καλύφθηκε μια διαδρομή ή ακριβέστερα μας δείχνει τη σταθερή ταχύτητα που έπρεπε να είχε το αυτοκίνητο για να καλύψει μια διαδρομή.

Στόχος των αναρτήσεων ήταν η αναφορά στο ρόλο του χαμένου, πλέον από τα σχολικά μαθηματικά Αρμονικού μέσου και της σημασίας του σε πλήθος προβλημάτων.
Αναρτώ, λοιπόν ένα τελευταίο παράδειγμα με τον (θα έλεγα επίκαιρο, λόγω των δηλώσεων περί μέσου όρου μαθητών στην τάξη...) τίτλο:

Ο απατηλός μέσος όρος

α) Στη διάρκεια ενός δίωρου ταξιδιού, ένα αυτοκίνητο διανύει σε μία ώρα μια απόσταση με σταθερή ταχύτητα 60 km/h

και την υπόλοιπη απόσταση επίσης σε μία ώρα με σταθερή ταχύτητα 80 km/h

. Βρείτε τη μέση ταχύτητα για όλη τη διαδρομή.
β) Το τρένο από Αθήνα για Θεσσαλονίκη διανύει τη μισή απόσταση με σταθερή ταχύτητα 80 km/h

και την άλλη μισή με σταθερή ταχύτητα 120 km/h

. Βρείτε τη μέση ταχύτητα για όλη τη διαδρομή.
γ) Ανεβαίνω την πλαγιά του βουνού με ταχύτητα u km/h

, και επιστρέφω με ταχύτητα 2u km/h

. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του περιπάτου μου;

Θα χαρώ να διαβάσω τις απόψεις και τα σχόλια όποιου φίλου θα ήθελε να παρέμβει.

#13

Να θυμήσω μια παλαιότερη συζήτηση εδώ και στις πολλές παραπομπές της .

Ratio · #14

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 07, 2020 7:01 pm

Ratio έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:42 am
Ίσως από λάθος είναι το γιατί άν θέσει μέση ταχύτητα συνολικά τα θα έχουμε $\frac{1}{15}+\frac{1}{U_2}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow U_2=30 miles/hr$
Όπως έγραψα και πριν κατανοώ απόλυτα τη στάση σας, επειδη στο παρελθον έχουν παρουσιαστεί πολύ επιθετικές συμπεριφορές εμφορούμενες από εμπάθεια και ενδεχομένως να θεωρήσατε ότι και η δική μου είναι μια από αυτές.
Προσωπικά χαίρομαι να τίθενται τέτοια προβλήματα στο site τα οποία θεωρώ άκρως διδακτικά και ενδιαφέροντα επειδή ακριβώς φέρνουν τα Μαθηματικά στην καθημερινότητα.
Από επαγγελματική εμπειρία δε, θεωρώ ότι αυτή αρμονική σύζευξη δυστυχώς λείπει από την εκπαίδευση και το διαπιστώνω συνήθως όταν βλέπω κάθε χρόνο τα βαθμολογικά αποτελεσμάτα των Πανελλαδικών εξετάσεων στη Φυσική έχοντας παράλληλα δει τα θέματα. Δεν τολμώ δε να φανταστώ τι θα συμβεί αν εξετάσουμε τί γίνεται σε Πολυτεχνικές ή Οικονομικές Σχολές με τις επιδόσεις σε αντίστοιχα μαθήματα που περιέχουν εφαρμογές των Μαθηματικών.
Το βιβλίο δεν το είχα υπόψη, ευχαριστώ πολύ για την παράθεση των αποσπασμάτων, ελπίζω να το βρω και να το μελετήσω.
Καταλήγοντας , το μόνο που έχω να πω είναι ότι η προσπάθεια των μάχιμων καθηγητών των Μαθηματικών, που παρόλες τις αντιξοότητες των καιρών προβληματίζονται και δεν εγκαταλείπουν την προσπάθεια αλλά συνεχίζουν με αξιοπρέπεια, πρωτοτυπία και αγάπη για την Επιστήμη τους πέρα από την τυποποιημένη δουλειά τους είναι το λιγότερο συγκινητική και πιστεύω ότι όλοι εμείς που σπουδάσαμε Μαθηματικά αλλά συνεχίσαμε σε άλλα πεδία γι αυτές τις προσπάθειες οφείλουμε να λέμε ευχαριστώ.

Πήγαινε – έλα

Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Re: Πήγαινε – έλα

Μέλη σε σύνδεση