Εισαγωγικά καψόνια

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εισαγωγικά καψόνια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm

Οι ρίζες της εξίσωσης

x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του p και το εμβαδόν του τριγώνου.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.


Λέξεις Κλειδιά:
1994
MIPT
εισαγωγικές
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Σεπ 05, 2020 7:30 pm

Αλέξανδρε, σαν μια πρώτη ιδέα, λύσε μου την εξίσωση:

p=(log_{(p/8)}p)^3\dfrac{225}{(p+14)^2}, p>8

:lol: :lol: :lol:


Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm
 Οι ρίζες της εξίσωσης

x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του p και το εμβαδόν του τριγώνου.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Σεπ 05, 2020 9:12 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm
 Οι ρίζες της εξίσωσης

x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του p και το εμβαδόν του τριγώνου.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.


Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 05, 2020 9:37 pm

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:12 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm
 Οι ρίζες της εξίσωσης

x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0

αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του p και το εμβαδόν του τριγώνου.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.
Εντάξει είναι 2E=1 Εκανα γρήγορα πράξεις και ξέχασα το 1/2


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Σεπ 05, 2020 9:42 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:37 pm
rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:12 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:04 pm
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 pm
 Οι ρίζες της εξίσωσης

x^3-\left( \log_{p/8} p\right) x^2 + \left | \dfrac{5}{2} \log_{4} p \ \right | x-\dfrac{15}{8} = 0


αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και οι ρίζες της εξίσωσης

x^3 -\dfrac{2}{3} \sqrt{p} x^2 +\dfrac{2p}{15} x- \dfrac{p}{p+14} = 0

τα μήκη των υψών του ίδιου τριγώνου. Να βρείτε την τιμή του p και το εμβαδόν του τριγώνου.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Φυσικο-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 1994.
Εντάξει είναι 2E=1 Εκανα γρήγορα πράξεις και ξέχασα το 1/2
χα χα! Σταύρο, αεί παίδες εσμέν!


Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am

Εστω a,b,c οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης.
Οι ρίζες της δεύτερης θα είναι \frac{E}{a},\frac{E}{b},\frac{E}{c}
οπου E το διπλάσιο του εμβαδού.
Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Vieta παίρνουμε

E^{3}=\frac{15}{8}\frac{p}{p+4}

E^{2}(\log _{\frac{p}{8}}p)=\frac{p}{4}

E|\frac{5}{2}\log _{4}p|=\frac{15}{8}\frac{2}{3}\sqrt{p}

Από την δεύτερη και τρίτη παίρνουμε

(\ln 4)^2=\ln p \ln \frac{p}{8}

προφανής λύση η p=16 και προφανώς μοναδική.
Αντικαθιστώντας σε όποια μας αρέσει βγαίνει
E=1
Ετσι το εμβαδό είναι \frac{1}{2}


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1930
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Σεπ 06, 2020 4:42 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am
προφανής λύση η p=16 και προφανώς μοναδική..
...και p=1/2...


Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3322
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγικά καψόνια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 06, 2020 8:41 pm

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 4:42 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 9:49 am
προφανής λύση η p=16 και προφανώς μοναδική..
...και p=1/2...
rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 7:30 pm
 Αλέξανδρε, σαν μια πρώτη ιδέα, λύσε μου την εξίσωση:

p=(log_{(p/8)}p)^3\dfrac{225}{(p+14)^2}, p>8

:lol: :lol: :lol:
Εννοείται ότι p>8 .
Οταν ξεκινάει κάποιος την λύση το βλέπει.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης