Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

KARKAR · #1

* Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}$

α) Λύστε την εξίσωση : $f(x)=\dfrac{24}{5}$

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή

;

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 7:45 am * Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}$

α) Λύστε την εξίσωση : $f(x)=\dfrac{24}{5}$

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή ;

α) Υψώνω στο τετράγωνο, έρχεται στην μορφή $\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}=\frac {63}{25}$ . Υψώνω ξανά, (20-x)(2-x)=63^2/25^2

από όπου

ή

(δεκτές).

β) Από $(p+q)^2\le 2(p^2+q^2)$ έχουμε $(\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2})^2 \le 2(20-x+2-x)=36$ με ισότητα για x=11

. Άρα το μέγιστο είναι

γ) Όχι δεν την παίρνει. Ακριβέστερα, ελάχιστη τιμή $\sqrt {18}>4$ . Έπειται από την $(p+q)^2\ge p^2+q^2$ στους θετικούς, εδώ $(\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2})^2\ge 18$ .

#3

Μια άποψη.

Αν θέσω $\boxed{20 - x = 9 - t \Rightarrow x - 2 = 9 + t}$ με $|t| \leqslant 9$ . Έτσι έχω :

$f(t) = \sqrt {9 - t} + \sqrt {9 + t} \,\,,t \in [ - 9,9]$ που είναι πιο εύκολης διαχείρισης .

#4

Αλλιώς για το ερώτημα γ). Έστω $\displaystyle a = \sqrt {20 - x} ,b = \sqrt {x - 2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 18$

Αν a=0

ή

τότε $a+b=\sqrt{18}>4.$

Αν $\displaystyle ab \ne 0,$ τότε οι $a, b, \sqrt{18}$ είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και από τριγωνική ανισότητα $a+b>\sqrt{18}>4.$

Philip.kal · #5

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2020 7:45 am * Άσκηση υψηλής δυσκολίας

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{20-x}+\sqrt{x-2}$

α) Λύστε την εξίσωση : $f(x)=\dfrac{24}{5}$

β) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης .

γ) Παίρνει η συνάρτηση την τιμή ;

Καλημέρα! Άλλη μία λύση για το α) και το γ)

Θα υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της

. Από τον τύπο της

έχουμε ότι: $20-x\geq 0\Leftrightarrow 20\geq x$ και $x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2$ . Τελικά: $D_{f}=[2,20]$ .

Θέτουμε $n=\sqrt {20-x} (1)$ . Τότε η εξίσωση γράφεται: $n+\sqrt{-n^{2}+18}=\frac{24}{5}\Leftrightarrow \sqrt{-n^{2}+18}=\frac{24}{5}-n\Leftrightarrow -n^{2}+18=\frac{576}{25}-\frac{48}{5}n+n^{2}\Leftrightarrow 2n^{2} -\frac{48}{5}n + \frac{126}{25}=0\Leftrightarrow 50n^{2}-240n+126=0\Leftrightarrow 25n^{2}-120n+63=0\Leftrightarrow n_{1}=\frac{3}{5} \vee n_{2}=\frac{21}{5}$ .

Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές του

στη σχέση

έχουμε ότι: $\frac{3}{5}=\sqrt{20-x}\Leftrightarrow \frac{9}{25}=20-x\Leftrightarrow x=20-\frac{9}{25}\Leftrightarrow x=\frac{491}{25}$ και: $\frac{21}{5}=\sqrt{20-x}\Leftrightarrow \frac{441}{25}=20-x\Leftrightarrow x=20-\frac{441}{25}\Leftrightarrow x=\frac{59}{25}$ .

Για το γ), τώρα, χρησιμοποιώντας πάλι τη σχέση (1)

καταλήγουμε στην εξίσωση: $n+\sqrt{-n^{2}+18}=4\Leftrightarrow -n^{2}+18=16-4n+n^{2}\Leftrightarrow 2n^{2}-8n-2=0 \Leftrightarrow n=2-\sqrt{5}$ (δεκτή λύση).

Σύμφωνα με τη σχέση (1)

θα έχουμε: $2-\sqrt{5}=\sqrt{20-x}$ που είναι αδύνατη. Συνεπώς, δεν υπάρχει τιμή του

, για την οποία η συνάρτηση να παίρνει τιμή

.

Καλή συνέχεια!
Φίλιππος Καλούδης,
Μαθητής Γυμνασίου.

#6

Καλημέρα σε όλους.

Τρεις παραλλαγές στο (β) (εκτός φακέλου).

1η (παλαιού τύπου…)

Στις παλαιές Άλγεβρες, τέτοια θέματα αντιμετωπιζόταν με τις εξής τεχνικές:

H

, αφού είναι θετική, στο Π.Ο. της, θα παίρνει τη μέγιστη τιμή της, όταν και η f^2

παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Επίσης όταν ένα υπόρριζο γίνεται μέγιστο, τότε και η ρίζα γίνεται μέγιστη.(Οι αποδείξεις των θεωρημάτων υπήρχαν σε κάποια βιβλία και θεωρούνταν δεδομένες)

$\displaystyle {f^2}\left( x \right) = 18 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {20 - x} \right)}$ , με $\displaystyle x \in \left[ {2,\;\;20} \right]$ .

Επειδή το άθροισμα $\displaystyle x - 2 + 20 - x = 18$ είναι σταθερό, το γινόμενό τους, παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν είναι ίσοι, αν μπορεί να γίνουν ίσοι. Αυτό συμβαίνει για x=11

, με μέγιστη τιμή $\displaystyle {f^2}{\left( x \right)_{\max }} = 18 + 2\sqrt {81} = 36$ , οπότε και $\displaystyle f{\left( x \right)_{\max }} = 6$ για x=11

.

2η (ανισότητα C-B-S)

Στην ουσία είναι η απάντηση του Μιχάλη, παραπάνω. Εδώ δίνω τη γενική της μορφή, που εφαρμόζεται και σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις. Το είχαμε συζητήσει παλαιότερα.

Η συνάρτηση f(x) ορίζεται για $\displaystyle x \in \left[ {2,\;\;20} \right]$ .

Έστω $\displaystyle a = \sqrt {20 - x} ,\;\;\;b = \sqrt {x - 2} ,\;\;c = 1,\;\;d = 1$ .

Τότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\left( {ac + bd} \right)^2} = {\left( {\sqrt {20 - x} + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\\ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) = \left( {20 - x + x - 2} \right)\left( {1 + 1} \right) = 36 \end{array} \right.$

Οπότε, από ανισότητα C-S, είναι $\displaystyle {f^2}\left( x \right) \le 36 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 6$ , αφού $\displaystyle f\left( x \right) > 0$ για κάθε $\displaystyle x \in \left[ {2,\;\;20} \right]$ .

Το ίσον ισχύει όταν bc = ad, δηλαδή όταν

$\displaystyle \sqrt {20 - x} = \sqrt {x - 2} \Leftrightarrow x = 11$ ,

που ανήκει στο διάστημα $\displaystyle \left[ {2,\;20} \right]$ .

3η (ανισότητα Jensen)

H $\displaystyle f\left( t \right) = \sqrt t ,\;\;t \in \left[ {2,\;20} \right]$ είναι κοίλη, άρα,

$\displaystyle f\left( {x - 2} \right) + f\left( {20 - x} \right) \le 2f\left( {\frac{{x - 2 + 20 - x}}{2}} \right) = 2f\left( 9 \right) = 6$ με το ίσον όταν x=11

.

#7

Philip.kal έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am
Δε χρειάστηκε τελικά το πεδίο ορισμού της , αλλά το αφήνω.

.
Όχι βέβαια. Το πεδίο ορισμού χρειάστηκε σε πολλά σημεία. Θα δώσω ένα από τα προφανή:
.

Philip.kal έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am
Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές του στη σχέση έχουμε ότι: ... $\Leftrightarrow x=\frac{59}{25}$ .

.
Δεκτή άραγε αυτή η τιμή ή όχι; Εσύ τι λες;

Philip.kal · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 12:26 pm
Philip.kal έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am
Δε χρειάστηκε τελικά το πεδίο ορισμού της , αλλά το αφήνω.

.
Όχι βέβαια. Το πεδίο ορισμού χρειάστηκε σε πολλά σημεία. Θα δώσω ένα από τα προφανή:
.
Philip.kal έγραψε: Κυρ Σεπ 06, 2020 10:17 am
Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές του στη σχέση έχουμε ότι: ... $\Leftrightarrow x=\frac{59}{25}$ .
.
Δεκτή άραγε αυτή η τιμή ή όχι; Εσύ τι λες;

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου!

Σας ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση! Θα το διορθώσω αμέσως. Το $x=\frac{59}{25}>2$ και συνεπώς ανήκει στο πεδίο ορισμού της

και είναι δεκτό.

Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Re: Δυσδιαχειρίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση