Ανισότητα

#1

ΑΣΚΗΣΗ (Ολυμπιάδα , Βουκουρέστι - 2009)

Αν a,b,c>0

και

με

, να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac {a^3}{x^2} + \frac {b^3}{y^2}+\frac {c^3}{z^2} \geq a+b+c$

Μπάμπης

ξαροπ · #2

$LHS \geq \frac{(a+b+c)^3}{3^0(x+y+z)^2} = \frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2} = a+b+c$ . (απ' τη γενίκευση Andreescu) [θα ψάξω μήπως βρω μια λύση χωρίς αυτήν

]

Dreamkiller · #3

Αν θέλουμε να αποφύγουμε την γενικευμένη Andreescu (που είναι σχετικά άγνωστη) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Holder, η οποία δίνει
$\displaystyle (\frac{a^3}{x^2} +\frac{b^3}{y^2} +\frac{c^3}{z^2})(x+y+z)(x+y+z)\geq(a+b+c)^3$ και, λαμβάνοντας υπ' όψιν τη συνθήκη, παίρνουμε το ζητούμενο.
Οι δύο λύσεις δε διαφέρουν βέβαια, αφού η γενικευμένη Andreescu αποδεικνύεται με την ανισότητα Holder.

ksofsa · #4

Δίνω την ακόλουθη απόδειξη:

Η ανισότητα γράφεται:

$\dfrac{a^3}{x^2}+\dfrac{b^3}{y^2}+\dfrac{c^3}{z^2}\geq a+b+c\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{x^2}+\dfrac{b^3}{y^2}+\dfrac{c^3}{z^2}\geq x+y+z\Leftrightarrow \dfrac{a^3+x^3}{x^2}+\dfrac{b^3+y^3}{y^2}+\dfrac{c^3+z^3}{z^2}\geq 2x+2y+2z$

Όμως $\dfrac{a^3+x^3}{x^2}\geq \dfrac{ax(a+x)}{x^2}=\dfrac{a^2}{x}+a$ .

Οπότε, αρκεί $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq x+y+z\Leftrightarrow \dfrac{a^2+x^2}{x}+\dfrac{b^2+y^2}{y}+\dfrac{c^2+z^2}{z}\geq 2x+2y+2z$ .

Όμως , είναι $\dfrac{a^2+x^2}{x}\geq \dfrac{2ax}{x}=2a$

και καταλαβαίνουμε ότι η τελευταία ανισότητα ισχύει και ότι επομένως θα ισχύει και η αρχική ανισότητα.

Pantelis.N · #5

Πιο απλά

$\frac{a^3}{x^2}+\frac{b^3}{y^2}+\frac{c^3}{z^2}(a+b+c)\geq (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})^2$

Αρκεί λοιπόν $(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})^2\geq (a+b+c)^2\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}\geq a+b+c$ που ισχύει αφού a+b+c=x+y+z

ενώ χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα Andreescu

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση