Ακόμα ένας γ. τόπος
Συντονιστής: gbaloglou
Ακόμα ένας γ. τόπος
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και σημείο το οποίο κινείται πάνω σ' αυτό.
Θεωρούμε το τρίγωνο τέτοιο ώστε:
και .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου .
Θεωρούμε το τρίγωνο τέτοιο ώστε:
και .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου .
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ακόμα ένας γ. τόπος
Καλησπέρα Κώστα! Εικάζω ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ημιευθεία όπου και
Δεν το έχω τεκμηριώσει όμως ακόμα.
Edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Σεπ 12, 2020 9:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ακόμα ένας γ. τόπος
Στην προέκταση της παίρνουμε ώστε .Από αντιστροφή το βόσκει πάνω σε μια ευθεία.Ετσι το βόσκει πάνω στην ευθεία που είναι η στροφή της προηγούμενης κατά μοίρες με κέντρο το .Το μόνο που απομένει είναι να καθορισθούν τα ακραία σημεία του τόπου.
Εγινε άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Κυρ Σεπ 13, 2020 3:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Ακόμα ένας γ. τόπος
Εν τάχει έχουμε:
Αν η προβολή του στην και η προβολή του στην , τότε,
οπότε το σημείο είναι σταθερό, άρα και η κάθετη ευθεία , στην είναι σταθερή …..
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ακόμα ένας γ. τόπος
Καλημέρα σε όλους. Θα προσπαθήσω να ενισχύσω την αρχική εκτίμηση του Γιώργου, με εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Άπό το φέρνουμε κάθετη στην ευθεία που ορίζουν τα .
Τότε , οπότε .
Έστω με ,
οπότε , άρα
Το κινείται στην ημιευθεία ,
οπότε, αν η τετμημένη του, θα είναι
, σταθερό, άρα το κινείται σε ημιευθεία κάθετη στον οριζόντιο άξονα στο , στο θετικό ημιεπίπεδο.
Όταν το βρεθεί στη θέση , τότε , άρα .
Από το φέρνουμε κάθετη στην , που τέμνει την στο .
Τότε , αφού έχουν πλευρές κάθετες.
Το κινείται στην ημιευθεία που είναι κάθετη στην στο και τέμνει τον θετικό κατακόρυφο ημιάξονα.
Προφανώς το "Θεώρημα της Προφάνειας" δεν είναι αρκετό. Αναρτώ ημιτελή τη λύση, ως εφαλτήριο για όποιον θα ήθελε να συνεχίσει από το συμπέρασμα στο οποίο έχω σταματήσει. Αν δεν δοθεί σύντομα πλήρης αιτιολόγηση θα προσπαθήσω να επανέλθω το ταχύτερο!
Άπό το φέρνουμε κάθετη στην ευθεία που ορίζουν τα .
Τότε , οπότε .
Έστω με ,
οπότε , άρα
Το κινείται στην ημιευθεία ,
οπότε, αν η τετμημένη του, θα είναι
, σταθερό, άρα το κινείται σε ημιευθεία κάθετη στον οριζόντιο άξονα στο , στο θετικό ημιεπίπεδο.
Όταν το βρεθεί στη θέση , τότε , άρα .
Από το φέρνουμε κάθετη στην , που τέμνει την στο .
Τότε , αφού έχουν πλευρές κάθετες.
Το κινείται στην ημιευθεία που είναι κάθετη στην στο και τέμνει τον θετικό κατακόρυφο ημιάξονα.
Προφανώς το "Θεώρημα της Προφάνειας" δεν είναι αρκετό. Αναρτώ ημιτελή τη λύση, ως εφαλτήριο για όποιον θα ήθελε να συνεχίσει από το συμπέρασμα στο οποίο έχω σταματήσει. Αν δεν δοθεί σύντομα πλήρης αιτιολόγηση θα προσπαθήσω να επανέλθω το ταχύτερο!
- Συνημμένα
-
- 11-09-2020 Γεωμετρία.ggb
- (25.32 KiB) Μεταφορτώθηκε 13 φορές
Re: Ακόμα ένας γ. τόπος
Γιώργο, Σταύρο, Σωτήρη και Γιώργο, καλησπέρα σας από τα Γρεβενά...
Κάπως έτσι σκέφτηκα κι εγώ...Να βάλω στο παιχνίδι μια αντιστροφή και μια στροφή.
Μάλιστα με απλούς αριθμούς που να μας επιτρέπουν να κάνουμε και γεωμετρική κατασκευή.
Επειδή εξακολουθώ να παίζω με τα σχήματα, τους μετασχηματισμούς αυτούς τους βρίσκω
όμορφους, ιδιαίτερα την αντιστροφή. Τώρα μάλιστα με τα λογισμικά που μας επιτρέπουν
να ξεπεράσουμε προβλήματα της παλιάς εποχής.
Σχήμα πρώτο:
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε το ημικύκλιο, ένα τυχαίο σημείο πάνω σ' αυτό και τον κύκλο αντιστροφής
με κέντρο το σημείο και ακτίνα ίση με .
Επειδή το ημικύκλιο διέρχεται από το κέντρο του κύκλου αντιστροφής η εικόνα του θα είναι η ημιευθεία
κάθετη στη διάκεντρο , πάνω στην οποία θα ανήκει και η εικόνα του σημείου μέσω της
αντιστροφής αυτής. (Το σημείο είναι προφανώς η εικόνα του σημείου )
Σχήμα δεύτερο:
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την στροφή που έγινε στην εικόνα με κέντρο το σημείο κατά γωνία ίση με .
Αφού λοιπόν το σημείο ανήκει στο ημικύκλιο και η εικόνα του μέσα από τη σύνθεση της αντιστροφής και της στροφής
έδωσε το σημείο , άρα η εικόνα αυτή θα ανήκει στην εικόνα του ημικυκλίου μέσω της ανωτέρω σύνθεσης, δηλαδή
στην ημιευθεία που είναι η στροφή της γύρω από το σημείο κατά γωνία ίση με .
Άρα ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η ημιευθεία αυτή. (Το αντίστροφο είναι είναι απλό).
Παρατήρηση:
Στα ανωτέρω σχήματα δίνω πληροφορίες δυναμικές που ενεργοποιούνται στο αρχείο που παραθέτω με σχετικές οδηγίες χρήσης.
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες