Εξ ανακλάσεως

KARKAR · #1

: Εξ ανακλάσεως.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 1200 φορές

Φωτεινή ακτίνα παράλληλη με τον άξονα y'y

προσπίπτει στο μέσο

του "καθρέπτη"

και ανακλάται , συναντώντας τον άξονα x'x

στο σημείο

. Ποιο είναι το σημείο

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 12, 2020 7:46 am
Εξ ανακλάσεως.pngΦωτεινή ακτίνα παράλληλη με τον άξονα προσπίπτει στο μέσο του "καθρέπτη"

και ανακλάται , συναντώντας τον άξονα στο σημείο . Ποιο είναι το σημείο ;

Από τις κλίσεις των ευθειών MS,MA

, και του άξονα των

, το ερώτημα είναι σχεδόν τετριμμένο, αλλά ας δούμε και άλλον τρόπο.

Αν N(2,0)

η προβολή του M(2,3)

στον άξονα των

, έχουμε ότι η

είναι διχοτόμος του τριγώνου MNS

, οπότε

, δηλαδή

$\dfrac {4-2}{s-4}= \dfrac {3}{\sqrt { (s-2)^2+3^2}}$ . Και λοιπά ( s=46/5

).

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 12, 2020 7:46 am
Εξ ανακλάσεως.pngΦωτεινή ακτίνα παράλληλη με τον άξονα προσπίπτει στο μέσο του "καθρέπτη"

και ανακλάται , συναντώντας τον άξονα στο σημείο . Ποιο είναι το σημείο ;

Με Ευκλείδεια. Έστω OS=x.

Είναι $\displaystyle BM = MA = \sqrt {13}.$

: Εξ ανακλάσεως.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

$\displaystyle \widehat B= \omega = \varphi = B\widehat MN$ και με ν. συνημιτόνου στο BMN,

είναι $\displaystyle \sqrt {13} = BN\cos B \Leftrightarrow BN = \frac{{13}}{6}$

Μενέλαος στο OAB

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {SMN} ,$ $\displaystyle \frac{{BN}}{{NO}} = \frac{{SA}}{{OS}} \Leftrightarrow \frac{{13}}{{23}} = \frac{{x - 4}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{92}}{{10}} \Leftrightarrow$ $\boxed{S(\dfrac{92}{10},0)}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 12, 2020 7:46 am
Εξ ανακλάσεως.pngΦωτεινή ακτίνα παράλληλη με τον άξονα προσπίπτει στο μέσο του "καθρέπτη"

και ανακλάται , συναντώντας τον άξονα στο σημείο . Ποιο είναι το σημείο ;

Φέρνω στο

κάθετη επί την

και τέμνει την

στο

. Επειδή $B{O^2} = OA \cdot OT \Rightarrow 36 = 4OT \Rightarrow \boxed{OT = 9}$ .

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

.

Επειδή η ακτίνα προσπτώσεως είναι παράλληλη στην

όλες οι έγχρωμες γωνίες είναι ίσες και η τετράδα : $\left( {O,F\backslash T,A} \right)$ είναι αρμονική , οπότε:

: Απο αντανάκλαση_oritzin_Euklid.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 1161 φορές

$\dfrac{{AF}}{{AO}} = \dfrac{{TF}}{{TO}} \Rightarrow \dfrac{{2x}}{4} = \dfrac{{13 + 2x}}{9} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{26}}{5}}$ και άρα $\boxed{OS = 4 + \dfrac{{26}}{5} = \dfrac{{46}}{5}}$ .

Παρατήρηση: το $\vartriangle BOF \to \left( {5k,12k,13k} \right)\,\,,\,\,k > 0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Φέρω

κάθετο στην

.
Η

είναι διχοτόμος της γωνίας KMS

.
Η συμμετρική ως προς τον φορέα της

ευθεία που περνάει από τα K,M

τέμνει τον φορέα της

στο

.

kkala · #6

Πιθανόν να έιναι χρήσιμο, ιδίως για τους μαθητές, να αρχίσουν με μια τετριμμένη λύση όπως η παρακάτω (εύκολη στη συλληψη, ίσως όχι στις πράξεις), και μετά να προχωρήσουν σε άλλες πιο κομψές λύσεις, που χρειάζονται περισσότερη επινοητικότητα. Για το σχήμα γίνεται αναφορά στη #3 (george visvikis).
$(AB)=\sqrt{52}$ και $(MA)=\sqrt{13}$ . Για τις γωνίες $\widehat{AMS}=\varphi=\widehat{B}$ και $\widehat{SAM}=90^{o}+\widehat{B}$ .
Το τρίγωνο ΜΑS μπορεί να επιλυθεί, διότι είναι γνωστά η πλευρά

και οι προσκείμενες γωνίες. Άρα
$(SA)=sin\varphi . (MA)/sin(\varphi +\widehat{SAM})=(MA)sin\widehat{B}/sin(90^{o}+2\widehat{B})$ = $(MA)sin\widehat{B}/(1-2sin^{2}\widehat{B})$ , καθόσον $sin(90^{o}+2\widehat{B})=cos(2\widehat{B})$ .
Είναι για την εφαρμογή $sin\widehat{B}=4/\sqrt{52}=2/\sqrt{13}$ και επομένως (SA)=26/5

κατά τον παραπάνω τύπο. Δηλαδή (OS)=46/5=9.2

, όπως οι προηγούμενες αναρτήσεις.
Για να έχει το πρόβλημα λύση στη γενική περίπτωση, πρέπει $\varphi +\widehat{SAM}<180^{o}$ , δηλαδή $\widehat{B}<45^{o}$ . Τούτο συμβαίνει με τα συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα, διότι $\widehat{B}=33.7^{o}$ κατά προσέγγιση. Για $\widehat{B}=45^{o}$ η ανακλώμενη ακτίνα γίνεται παράλληλη προς

. Ενώ για $\widehat{B}>45^{o}$ η προέκταση της

τέμνει την

προς την πλευρά του τριγώνου ΟΑΒ ( $\varphi +\widehat{SAM}>180^{o}$ ), οπότε το πρόβλημα δεν έχει λύση (με την τωρινή διατύπωση).

#7

Η υποτείνουσα του $\vartriangle AOB$ είναι : $AB = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13}$ .

Η μεσοκάθετη στο

τέμνει την ευθεία

στο

κι αφού το τετράπλευρο OMBD

είναι εγγράψιμο θα έχω: $AO\left( {AO + OD} \right) = AM \cdot AB \Rightarrow 4\left( {4 + OD} \right) = 26 \Rightarrow \boxed{OD = \frac{5}{2} = 2,5}$ .

Η ευθεία

τέμνει την κατακόρυφη ακτίνα στο

. Η

είναι άξονας συμμετρίας στα $\vartriangle DAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DSE$ .

: Απο αντανάκλαση_oritzin_2.png (26.42 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

Έτσι θα είναι: $DB = DA = 6,5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AS = BE = x$ . Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Από τα προφανώς όμοια ορθογώνια τρίγωνα , $OBD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZBE$ έχω:

$\dfrac{{DB}}{{BE}} = \dfrac{{DO}}{{EZ}} \Rightarrow \dfrac{{6,5}}{x} = \dfrac{{2,5}}{2} \Rightarrow \dfrac{{13}}{x} = \dfrac{5}{2} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{26}}{5}}$ , συνεπώς $\boxed{OS = \dfrac{{46}}{5}}$

Εξ ανακλάσεως

Εξ ανακλάσεως

Re: Εξ ανακλάσεως

Re: Εξ ανακλάσεως

Re: Εξ ανακλάσεως

Re: Εξ ανακλάσεως

Re: Εξ ανακλάσεως

Re: Εξ ανακλάσεως

Μέλη σε σύνδεση