Ακέραιες Λύσεις
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Ακέραιες Λύσεις
Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις για α,b διάφορα του μηδενός με την απολύτως απαραίτητη αιτιολόγηση.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ακέραιες Λύσεις
Αν τότε . Για , βάζοντας στην θέση του μπορούμε να υποθέσουμε ότι .
Ως δευτεροβάθμια ως προς έχουμε . Η ρίζα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, , δηλαδή από όπου εύκολα . Πίσω στην , , από όπου .
Τελικά οι λύσεις είναι οι .
Edit: Διόρθωσα απροσεξία σε ένα πρόσημο. Βλέπε παρακάτω.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Σεπ 13, 2020 8:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Ακέραιες Λύσεις
Κύριε Λάμπρου, ο εκθέτης του στο δεξιό μέλος είναι περιττός, άρα δεν μπορούμε να έχουμε .
Οι λύσεις είναι .
Οι λύσεις είναι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ακέραιες Λύσεις
Μια διαφορετική προσέγγιση.
Για παίρνουμε ενώ για δεν έχουμε λύση αφού με την ισότητα να μην λαμβάνεται.
Έστω λοιπόν πρώτος ώστε . Τότε είναι και άρα και . Έστω η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το και η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το .
Αν έχουμε που δίνει , άτοπο.
Αν έχουμε που δίνει , πάλι άτοπο.
Άρα . Αυτό ισχύει για κάθε πρώτο που διαιρεί τον και ομοίως για κάθε πρώτο που διαιρεί τον . Άρα που δίνει . Επομένως και , λύσεις που επίσης ικανοποιούν την εξίσωση.
Για παίρνουμε ενώ για δεν έχουμε λύση αφού με την ισότητα να μην λαμβάνεται.
Έστω λοιπόν πρώτος ώστε . Τότε είναι και άρα και . Έστω η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το και η μέγιστη δύναμη του που διαιρεί το .
Αν έχουμε που δίνει , άτοπο.
Αν έχουμε που δίνει , πάλι άτοπο.
Άρα . Αυτό ισχύει για κάθε πρώτο που διαιρεί τον και ομοίως για κάθε πρώτο που διαιρεί τον . Άρα που δίνει . Επομένως και , λύσεις που επίσης ικανοποιούν την εξίσωση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες