Μέγιστο γινόμενο 8

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο 8.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Σημείο

κινείται στην διάμετρο AB=d

, ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο

διαμέτρου

( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του

, τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία M , L

.

Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : $MN \cdot ML$

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Με το σχήμα του Θανάση.

: Μέγιστο γινόμενο 8.png (10.18 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

Εστω

η εξίσωση του αρχικού ημικυκλίου, όπου d = 2r

και σημείο S(a, 0)

με

. Τότε $\displaystyle M\left( {\frac{{a - r}}{2},\frac{{a + r}}{2}} \right)$ .

H ευθεία $\displaystyle y = \frac{{a + r}}{2}$ τέμνει τον αρχικό κύκλο στα $\displaystyle N\left( { - \frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2},\;\frac{{a + r}}{2}} \right),\;L\left( {\frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2},\;\frac{{a + r}}{2}} \right)$ ,

οπότε $\displaystyle MN \cdot ML = \left( {\frac{{a - r}}{2} + \frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt {4{r^2} - {{\left( {a + r} \right)}^2}} }}{2} - \frac{{a - r}}{2}} \right) = \frac{{{r^2} - {a^2}}}{2}$

με το μέγιστο όταν a=0

, δηλαδή όταν το

είναι στο μέσο του

.

(Και σχολική θα την έλεγα, εκτός αν υπάρχει κάποιο σημείο (παγίδα) που δεν το βλέπω).

S.E.Louridas · #3

Το σημείο

ανήκει στην σταθερή ημιευθεία

με $\angle BAe = \frac{\pi }{4}.$ Έχουμε $MN \cdot ML = {R^2} - O{M^2},$ άρα ζητάμε το $O{M_{\min }},$ που επιτυγχάνεται όταν $OM \bot Ae,$ δηλαδή όταν $S \equiv O.$ Ως

θεωρούμε το κέντρο του δοθέντος ημικυκλίου.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 13, 2020 8:36 pm
Μέγιστο γινόμενο 8.pngΣημείο κινείται στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο

διαμέτρου ( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του , τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία .

Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : $MN \cdot ML$

Έστω

τα κέντρα του μεγάλου και του μικρού ημικυκλίου και R, x

οι ακτίνες τους αντίστοιχα.

Έστω ακόμα

το μέσο του NL.

Είναι $\displaystyle NP = PL = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .$

: Μέγιστο γινόμενο.8.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

$\displaystyle MN \cdot ML = (NP - MP)(MP + PL) = \left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}} - (R - x)} \right)\left( {(R - x) + \sqrt {{R^2} - {x^2}} } \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle MN \cdot ML = - 2{x^2} + 2Rx + \frac{{{R^2}}}{2} - \frac{{{R^2}}}{2} = - 2{\left( {x - \frac{R}{2}} \right)^2} + \frac{{{R^2}}}{2} \le \frac{{{R^2}}}{2}.$ Η ισότητα όταν $\displaystyle x = \frac{R}{2},$ δηλαδή όταν τα O, S

συμπίπτουν.

Μέγιστο γινόμενο 8

Μέγιστο γινόμενο 8

Re: Μέγιστο γινόμενο 8

Re: Μέγιστο γινόμενο 8

Re: Μέγιστο γινόμενο 8

Μέλη σε σύνδεση