Με απλά υλικά (30)

#1

Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle AB$ , σταθερού μήκους $\displaystyle a$ και το σημείο $\displaystyle D$ του $\displaystyle AB$ με $\displaystyle (AD)=x<\frac{a}{2}$ .
Γράφουμε δύο ημικύκλια με ακτίνα $\displaystyle x$ και διάμετρο $\displaystyle DB$ , αντίστοιχα , τα οποία τέμνονται στο $\displaystyle E$ .
Βρείτε το $\displaystyle x$ και τη γωνία $\displaystyle DBE$ ώστε το $\displaystyle (DBE)$ να είναι το μέγιστο δυνατό .

#2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 15, 2020 12:53 pm
Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle AB$ , σταθερού μήκους $\displaystyle a$ και το σημείο $\displaystyle D$ του $\displaystyle AB$ με $\displaystyle (AD)=x<\frac{a}{2}$ .
Γράφουμε δύο ημικύκλια με ακτίνα $\displaystyle x$ και διάμετρο $\displaystyle DB$ , αντίστοιχα , τα οποία τέμνονται στο $\displaystyle E$ .
Βρείτε το $\displaystyle x$ και τη γωνία $\displaystyle DBE$ ώστε το $\displaystyle (DBE)$ να είναι το μέγιστο δυνατό .

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{(DEB)^2= \frac {1}{4} DE^2\cdot BE^2= \frac {1}{4} x^2[(a-x)^2-x^2]= \frac {1}{4} x^2[a^2-2ax]= \frac {1}{4a^2} (ax)(ax)(a^2-2ax) \le }$

$\displaystyle{\le \frac {1}{4a^2}\left ( \frac {1}{3} (ax+ax+(a^2-2ax)}\right ) ^3= \frac {1}{4\cdot 27 } {a^2} }$ με ισότητα αν x=a/3

. Και λοιπά.

Μάρκος Βασίλης · #3

Για $0<x<\frac{a}{2}$ έχουμε (DE)=x

και

άρα, αφού το $\triangle DBE$ είναι ορθογώνιο (βαίνει σε ημικύκλιο), έπεται ότι:

$\displaystyle{(BE)=\sqrt{(a-x)^2-x^2}=\sqrt{a^2-2ax}.}$

Τώρα, έχουμε:

$\displaystyle{(DBE)=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-2ax}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2x^2-2ax^3}.}$

Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε την f(x)=a^2x^2-2ax^3

. Έχουμε:

$\displaystyle{f'(x)=2a^2x-6ax^2=2ax(a-3x).}$

Από εδώ εύκολα βλέπουμε ότι η τιμή του

για την οποία το ζητούμενο εμβαδό γίνεται μέγιστο είναι $x=\frac{a}{3}$ , ενώ τότε έχουμε:

$\displaystyle{(DE)=\frac{a}{3}\text{\gr και }(DB)=\frac{2a}{3}\Rightarrow\sin DBE=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle DBE=\frac{\pi}{6}.}$

Με απλά υλικά (30)

Με απλά υλικά (30)

Re: Με απλά υλικά (30)

Re: Με απλά υλικά (30)

Μέλη σε σύνδεση