Είναι σταθερές;

Tolaso J Kos · #1

Αν η σύνθεση δύο συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$ είναι σταθερή συνάρτηση, μπορούμε να πούμε ότι μία τουλάχιστον από αυτές είναι σταθερές ; Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

stranger · #2

Όχι αναγκαστικά.
Πάρε f(x)= 1

για

και

για $x \leq 0$ και g(x)=0

για

και

για $x \leq 0$ , τότε f(g(x))= 0

για κάθε

.

#3

Άπειρα τα παραδείγματα. Ευκαιρία για ανάπτυξη φαντασίας ώστε η σύνθεση fog

να είναι σταθερή για διαφορετικούς λόγους. Είδαμε έναν, αλλά να και άλλοι δύο.

α) $f(x)=\sin 2\pi x,\, g(x)=[x]$ (ακέραιο μέρος)

β) $f(x)=x-|x|,\, g(x)=x^2$ . Eδώ είναι συνεχείς και οι δύο.

giannispapav · #4

Μια παρόμοια: (Σ/Λ) Αν για δύο συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ οι συνθέσεις $f\circ g$ και $g\circ f$ είναι σταθερές συναρτήσεις, τότε τουλάχιστον μία από τις f,g

είναι σταθερή.

#5

giannispapav έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 08, 2022 11:27 am
Μια παρόμοια: (Σ/Λ) Αν για δύο συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ οι συνθέσεις $f\circ g$ και $g\circ f$ είναι σταθερές συναρτήσεις, τότε τουλάχιστον μία από τις είναι σταθερή.

Δεν αληθεύει. Π.χ. α) f(x)=1

αν $x\ge 0$ και f(x)=0

αλλιώς, β) g(x)=0

αν $x\ge 0$ και g(x)=1

αλλιώς. Τότε $f\circ g={\color {red}1},\, g\circ f=0$ , αλλά οι f,g

μη σταθερές.

Υπάρχουν και άλλα παραδείγματα, αρκετής ποικιλίας.

Edit αργότερα: Διόρθωσα σφάλμα το οποίο, ευτυχώς, δεν αλλοιώνει την ουσία.

giannispapav · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 08, 2022 2:28 pm

giannispapav έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 08, 2022 11:27 am
Μια παρόμοια: (Σ/Λ) Αν για δύο συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ οι συνθέσεις $f\circ g$ και $g\circ f$ είναι σταθερές συναρτήσεις, τότε τουλάχιστον μία από τις είναι σταθερή.
Δεν αληθεύει. Π.χ. α) αν $x\ge 0$ και αλλιώς, β) αν $x\ge 0$ και αλλιώς. Τότε $f\circ g=0 = g\circ f$ , αλλά οι μη σταθερές.

Υπάρχουν και άλλα παραδείγματα, αρκετής ποικιλίας.

Χρόνια πολλά κ. Λάμπρου! Σωστά (αν βλέπω καλά είναι $f\circ g=1$ και $g\circ f=0$ αλλά όλα οκ)

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 7:03 pm
Eδώ είναι συνεχείς και οι δύο.

Ας δούμε τι συμβαίνει αν ζητήσουμε να είναι παραγωγίσιμες και οι δύο. Αν ζητήσουμε να είναι 2022 φορές παραγωγίσιμες;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλη, χρόνια πολλά!

#8

giannispapav έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 08, 2022 2:48 pm
Χρόνια πολλά κ. Λάμπρου! Σωστά (αν βλέπω καλά είναι $f\circ g=1$ και $g\circ f=0$ αλλά όλα οκ)

Ευχαριστώ για τις ευχές, και εσένα και τον Δημήτρη (στο αμέσως προηγούμενο ποστ).

Πραγματικά έπρεπε να γράψω $f\circ g=1$ αντί του $f\circ g=0$ . Τώρα το διόρθωσα, και ευτυχώς απαντά στο ερώτημα.

Αν θέλουμε παράδειγμα με $f\circ g=0=f\circ g$ , όπως στο αρχικό μου ποστ, πριν την διόρθωση, παίρνουμε

f(x)=1

αν

και

αλλιώς. Επίσης g(x)=0

αν $x \ge 0$ και g(x)=-1

αλλιώς.

Είναι σταθερές;

Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Re: Είναι σταθερές;

Μέλη σε σύνδεση