Στερεομετρικό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Στερεομετρικό εμβαδόν.png (18.26 KiB) Προβλήθηκε 1006 φορές

Σημείο

βρίσκεται στην κάθετη προς το επίπεδο του κύκλου (O,6)

, που περνά από το κέντρο του ,

και σε απόσταση : OT=4

. Η κινούμενη χορδή

του κύκλου , έχει απόστημα OM=x

.

Εκφράστε το εμβαδόν του τριγώνου TAB

συναρτήσει του

και βρείτε την μέγιστη τιμή του .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 18, 2020 11:56 am Στερεομετρικό εμβαδόν.pngΣημείο βρίσκεται στην κάθετη προς το επίπεδο του κύκλου , που περνά από το κέντρο του ,

και σε απόσταση : . Η κινούμενη χορδή του κύκλου , έχει απόστημα .

Εκφράστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του και βρείτε την μέγιστη τιμή του .

Στο σχήμα του Θανάση είναι, $\displaystyle AB = 2\sqrt {36 - {x^2}} ,h = \sqrt {16 + {x^2}}$ και από Θεώρημα των τριών καθέτων,

$\displaystyle TM \bot AB.$ Άρα, $\boxed{(TAB) = \sqrt {36 - {x^2}} \sqrt {16 + {x^2}} }$

Επειδή $\displaystyle (36 - {x^2}) + (16 + {x^2}) = 52,$ το γινόμενο $\displaystyle (36 - {x^2})(16 + {x^2})$ μεγιστοποιείται όταν

$\displaystyle 36 - {x^2} = 16 + {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {10}.$ Δηλαδή είναι, $\boxed{{(TAB)_{\max }} = 26}$

Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\displaystyle TA = TB = \sqrt {52}$ και το (TAB)

μεγιστοποιείται όταν $\displaystyle A\widehat TB = 90^\circ,$ κλπ.

#3

george visvikis έγραψε: Κυρ Οκτ 18, 2020 5:01 pm
KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 18, 2020 11:56 am Στερεομετρικό εμβαδόν.pngΣημείο βρίσκεται στην κάθετη προς το επίπεδο του κύκλου , που περνά από το κέντρο του ,

και σε απόσταση : . Η κινούμενη χορδή του κύκλου , έχει απόστημα .

Εκφράστε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του και βρείτε την μέγιστη τιμή του .

Στο σχήμα του Θανάση είναι, $\displaystyle AB = 2\sqrt {36 - {x^2}} ,h = \sqrt {16 + {x^2}}$ και από Θεώρημα των τριών καθέτων,

$\displaystyle TM \bot AB.$ Άρα, $\boxed{(TAB) = \sqrt {36 - {x^2}} \sqrt {16 + {x^2}} }$

Επειδή $\displaystyle (36 - {x^2}) + (16 + {x^2}) = 52,$ το γινόμενο $\displaystyle (36 - {x^2})(16 + {x^2})$ μεγιστοποιείται όταν

$\displaystyle 36 - {x^2} = 16 + {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {10}.$ Δηλαδή είναι, $\boxed{{(TAB)_{\max }} = 26}$

Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\displaystyle TA = TB = \sqrt {52}$ και το μεγιστοποιείται όταν $\displaystyle A\widehat TB = 90^\circ,$ κλπ.

Γιώργο, αν και δεν προσθέτω κάτι σημαντικό στη λύση σου καθώς και στο σχήμα του Θανάση, επειδή τώρα μόλις τελείωσα

τα σχήματα, επίτρεψέ μου να τα αναρτήσω...

1ο Σχήμα(το τρίγωνο)

: Στερεομετρικό εμβαδόν 1.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

2ο Σχήμα(η μεταβολή του εμβαδού)

: Γραφημα Στ. Εμβαδού 1.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Κώστας Δόρτσιος

angvl · #4

: στερεομετρικό εμβαδόν 2.png (267.55 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Καλησπέρα. Απ' το σχήμα του κ.Δόρτσιου.

'Εστω

το συμμετρικό του

με κέντρο το

.

Το τετράπλευρο TALB

είναι ρόμβος γιατί οι διαγώνιες του διχοτομούνται και οι πλευρές του είναι ίσες.

Επίσης έχει σταθερή περίμετρο ίση με $4 TA = 4\sqrt{52}}$ .

Γνωρίζουμε ότι απ' όλα τα τετράπλευρα με σταθερή περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό.

Οπότε για να βρούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TAB

αρκεί να βρούμε το μέγιστο εμβαδό του TALB

δηλαδή αρκεί το TALB

να είναι τετράγωνο, άρα αρκεί AB = TL

αρκεί

αρκεί $2\sqrt{36-x^2}=2\sqrt{16+x^2}$ αρκεί $x=\sqrt{10}$

και συνεχίζουμε όπως ο κ.Βισβίκης.

Στερεομετρικό εμβαδόν

Στερεομετρικό εμβαδόν

Re: Στερεομετρικό εμβαδόν

Re: Στερεομετρικό εμβαδόν

Re: Στερεομετρικό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση