Όχι περιοδική

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε την $f(x)=\sin x+\sin x\sqrt{2}$

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει $T\neq 0$

ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$
να είναι

f(x+T)=f(x)

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:23 am
Θεωρούμε την $f(x)=\sin x+\sin x\sqrt{2}$

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει $T\neq 0$

ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$
να είναι

Είναι από αυτές που είναι σχεδόν περιοδικές.

Μια απόδειξη εκτός φακέλου και σύντομη είναι η εξής:

Υποθέτοντας ότι έχει περίοδο

παίρνουμε οτι

$\sin (x+T)+\sin (\sqrt{2}(x+T))=\sin x+\sin (x\sqrt{2})$ .

Παραγωγίζοντας παίρνουμε

$\cos (x+T)+\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}(x+T))=\cos x+\sqrt{2}\cos (x\sqrt{2})$ .

Ξαναπαραγωγίζουμε για να οδηγηθούμε στην

$-\sin (x+T)-2\sin (\sqrt{2}(x+T))=-\sin x-2\sin (x\sqrt{2})$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη την πρώτη ισότητα και την τρίτη παιρνουμε

$\sin (\sqrt{2}(x+T))=\sin (x\sqrt{2})$ δηλαδή

$\sqrt{2}T=2k\pi.$ Από την πρώτη ισότητα και για x=0

παίρνουμε τώρα

$\sin T=0$ και επομένως $T=m\pi$ .

Τελικά έχουμε ότι $\sqrt{2}=\dfrac{2k}{m}$ το

οποίο είναι προφανώς άτοπο.

Tolaso J Kos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:23 am
Θεωρούμε την $f(x)=\sin x+\sin x\sqrt{2}$

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει $T\neq 0$

ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$
να είναι

Θεώρημα έγραψε:Αν $f_1, f_2, \dots, f_\nu$ είναι περιοδικές συναρτήσεις με θεμελιώδη περίοδο $\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu$ αντίστοιχα τότε η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \sum_{i=1}^{\nu} a_i f_i(x)}$ , όπου είναι σταθερές , είναι περιοδική αν υπάρχει ο $\lcm (\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu)$

Απόδειξη: Έστω $M = \lcm(\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu)$ . Για κάθε

έχουμε ότι $\tau_i \mid M$ οπότε επειδή η f_i

είναι $\tau_i$ περιοδική θα είναι και

περιοδική.

Η

δε μπορεί να είναι περιοδική αφού δεν υπάρχει ο $\lcm \left(1, \sqrt{2} \right)$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 10:09 am

Θεώρημα έγραψε:Αν $f_1, f_2, \dots, f_\nu$ είναι περιοδικές συναρτήσεις με θεμελιώδη περίοδο $\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu$ αντίστοιχα τότε η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \sum_{i=1}^{\nu} a_i f_i(x)}$ , όπου είναι σταθερές , είναι περιοδική αν υπάρχει ο $\lcm (\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_\nu)$

Η δε μπορεί να είναι περιοδική αφού δεν υπάρχει ο $\lcm \left(1, \sqrt{2} \right)$ .

Για ξαναδες το. Έτσι όπως διατυπώνεις το θεώρημα περιγράφεις μια ικανή συνθήκη. Οπότε το συμπέρασμα που δίνεις είναι άκυρο.

#5

Εδώ ο Δημήτρης είχε βάλει και μια γενίκευση.

viewtopic.php?f=58&t=60845&p=294611#p294611

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 8:23 am
Θεωρούμε την $f(x)=\sin x+\sin x\sqrt{2}$

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει $T\neq 0$

ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$
να είναι

.
Μια γενίκευση εδώ. Είχα δώσει τότε (πριν

χρόνια που δεν ξέρω πώς πέρασαν) μία λύση που για κάποιο λόγο την θυμάμαι ενώ συνήθως έχω... μηδενική μνήμη στα ποστ μου στο φόρουμ.

Summand · #7

Κι έλεγα ότι κάτι μου θυμίζει! Είναι παρόμοια με το πρόβλημα 2 του Ευκλείδη 2018 στη Γ' λυκείου. Και εκεί πάλι χρησιμοποιούμε την αρρητότητα του $\sqrt{2}$ για να αποδείξουμε το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Ωραία τα παραπάνω.
Λύση εντός φακέλλου δεν βλέπω.

Λάμπρος Κατσάπας · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 23, 2020 12:46 pm
Ωραία τα παραπάνω.
Λύση εντός φακέλλου δεν βλέπω.

Παραβλέποντας το ειρωνικό ύφος...

Έστω ότι έχει περίοδο

Τότε

$f(x+T)=f(x)\Rightarrow \left ( \sin (x+T)-\sin x \right )+\left ( \sin (\sqrt{2}(x+T))-\sin (\sqrt{2}x)\right )=0 \Rightarrow$

$2\cos\left (x+\dfrac{T}{2} \right )\cos \dfrac{T}{2}+ 2\cos \left (\sqrt{2}(x+\dfrac{T}{2}) \right )\cos \left (\sqrt{2}\dfrac{T}{2} \right )=0.$

Από την τελευταία, για x=0,

παίρνουμε

$\left (\cos \dfrac{T}{2} \right )^2+ \left (\cos \left (\sqrt{2}\dfrac{T}{2} \right ) \right )^2=0\Rightarrow$

$\cos \dfrac{T}{2}=0\wedge \cos \left (\sqrt{2}\dfrac{T}{2} \right )=0\Rightarrow ...\Rightarrow \sqrt{2}=\dfrac{2m+1}{2k+1}$

(άτοπο)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 23, 2020 2:27 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 23, 2020 12:46 pm
Ωραία τα παραπάνω.
Λύση εντός φακέλλου δεν βλέπω.
Παραβλέποντας το ειρωνικό ύφος...

Έστω ότι έχει περίοδο Τότε

$f(x+T)=f(x)\Rightarrow \left ( \sin (x+T)-\sin x \right )+\left ( \sin (\sqrt{2}(x+T))-\sin (\sqrt{2}x)\right )=0 \Rightarrow$

$2\cos\left (x+\dfrac{T}{2} \right )\cos \dfrac{T}{2}+ 2\cos \left (\sqrt{2}(x+\dfrac{T}{2}) \right )\cos \left (\sqrt{2}\dfrac{T}{2} \right )=0.$

Από την τελευταία, για παίρνουμε

$\left (\cos \dfrac{T}{2} \right )^2+ \left (\cos \left (\sqrt{2}\dfrac{T}{2} \right ) \right )^2=0\Rightarrow$

$\cos \dfrac{T}{2}=0\wedge \cos \left (\sqrt{2}\dfrac{T}{2} \right )=0\Rightarrow ...\Rightarrow \sqrt{2}=\dfrac{2m+1}{2k+1}$

(άτοπο)

Αυτό το παραβλέπω

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 23, 2020 2:27 pm
Παραβλέποντας το ειρωνικό ύφος...

Στην ουσία
$\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Ας δώσω την λύση.
Μιας και κάνω τον κόπο θα αποδείξω το γενικότερο.
Αν η $\displaystyle f(x)=\sin cx +\sin bx,c,b\neq 0$
είναι περιοδική τότε το
$\frac{b}{c}$
είναι ρητός.
Το πρόβλημα αυτό υπάρχει στο
viewtopic.php?f=56&t=3911&p=21600&hilit ... %2A#p21600
Θέτοντας $x=\frac{t}{c}$
αρκεί να δείξουμε ότι αν η
$\displaystyle f(x)=\sin x +\sin ax$
είναι περιοδική τότε το

είναι ρητός.
Οπου $a=\frac{b}{c}$
Εστω ότι το

δεν είναι ρητός.

Εστω $T\neq0$ περίοδος.
Θα είναι
$\displaystyle \sin x-\sin (x+T)=\sin (ax+Ta)-\sin ax$
Για x=0

παίρνουμε ότι
$-\sin (T)=\sin (Ta)$ (1)

Εύκολα βλέπουμε ότι $\sin T\neq 0$
και
$\displaystyle T=\frac{k\pi }{1+(-1)^{k}a},k\in \mathbb{Z}-\left \{ 0 \right \}$ (2)

Προφανώς και το

θα είναι περίοδος.
Θα έχουμε ότι $\displaystyle \sin x-\sin (x+2T)=\sin (ax+2Ta)-\sin ax$
που γίνεται
$\displaystyle -2\sin T\cos(x+T)=2\sin (aT)\cos (ax+aT)$
Λόγω της (1) παίρνουμε
$\displaystyle \cos(x+T)=\cos (ax+aT)$ (3)

Εκτός φακέλλου μπορούμε εδώ να πούμε τα εξής.
Η $\cos(x+T)$ έχει πρωτεύουσα περίοδο $2\pi$ ενώ η $\cos (ax+aT)$ έχει $\frac{2\pi }{|a|}$
Επειδή οι συναρτήσεις είναι ίσες θα πρέπει να είναι και οι πρωτεύουσες περίοδοι.ΑΤΟΠΟ αφου το

όχι ρητός

Η (3) γράφεται
$\displaystyle \sin(\frac{\pi }{2}-(x+T))=\sin(\frac{\pi }{2}-a(x+T))$
Επειδή
$\displaystyle \sin x=\sin y\Leftrightarrow x=(-1)^{n}y+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$
και λόγω της (2) συμπεραίνουμε ότι
για κάθε $x\in \mathbb{R}$
υπάρχει $n=n(x)\in \mathbb{Z}$
ώστε
$\displaystyle x((-1)^{n}a-1)=\frac{\pi }{2}((-1)^{n}-1)+\frac{k\pi }{1+a(-1)^{k}}(1-(-1)^na)+n\pi$ (4)

Στην περίπτωση που $a=\sqrt{2}$ αν πάρουμε
$x=\pi \sqrt{3}$ η (4) δεν μπορεί να ισχύει.

Για την γενική περίπτωση πρέπει να ξεχωρίσουμε περιπτώσεις για τον

Αν

περιττός η (4) δεν μπορεί να ισχύει όταν θέσουμε $x=\frac{2\pi }{a-1}$

ενώ αν

άρτιος η (4) δεν μπορεί να ισχύει όταν θέσουμε $x=\frac{\pi }{a-1}$

Εκτός φακέλλου θα μπορούσαμε να πούμε ότι η (4) δεν μπορεί να ισχύει γιατί το

μπορεί να πάρει
υπεραριθμήσιμο το πλήθος τιμών

Όχι περιοδική

Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Re: Όχι περιοδική

Μέλη σε σύνδεση