ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

min## · #81

Αλλιώς(σχεδόν ισοδύναμα), είναι στο ACD

:

,δηλαδή $14*2 \sqrt{10}*6\sqrt{5}/42=4R$ και άρα $R=5\sqrt{2}$

JimNt. · #82

Διαφορετικά με νόμο συνημιτόνων στο ABD

προκύπτει ότι $ADB=45^{o}$ . Η συνέχεια απλή.

Chagi · #83

achilleas έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2018 12:50 am
Panagiotis11 έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2018 12:28 am Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου

Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$
Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$

$\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$

$\bullet$ Επίσης $(x^2+y^2)^2\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow x^4+y^4+2(xy)^2\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2(xy)^2\in \mathbb{Z}(2)$

Από $(2)-(1)\Rightarrow 2xy(xy-1)\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow xy\in \mathbb{Z}$

Άρα και $(xy)^2\in \mathbb{Z}$ και $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\in \mathbb{Z}$ αφού $-xy=xy\cdot (-1)$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Δεν βλέπω γιατί $2xy(xy-1)\in \mathbb{Z}\implies xy\in \mathbb{Z}$ .

Νομίζω χρειάζεται απόδειξη.

(Προσθήκη: Για παράδειγμα: η εξίσωση δεν έχει λύση ακέραιο.)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αν κάποιος δεν αποδείξει αυτό που αναφέρατε και έχει δώσει λύση σαν του Παναγιώτη, πόσες μονάδες πρόκειται να χάσει ; Σας ευχαριστώ

Panagiotis11 · #84

achilleas έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2018 12:50 am
Panagiotis11 έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2018 12:28 am Η λύση μου για το 2ο θέμα Β Λυκείου

Αρκεί να αποδείξουμε πως $x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(xy)^2(x+y)\in \mathbb{Z}$
Δηλαδή αρκεί $x^3+y^3\wedge xy\in \mathbb{Z}$

$\bullet$ Ισχύει ότι $(x+y)^2\in \mathbb{Z}$ άρα $x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2xy\in \mathbb{Z}$

$\bullet$ Επίσης $(x^2+y^2)^2\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow x^4+y^4+2(xy)^2\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2(xy)^2\in \mathbb{Z}(2)$

Από $(2)-(1)\Rightarrow 2xy(xy-1)\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow xy\in \mathbb{Z}$

Άρα και $(xy)^2\in \mathbb{Z}$ και $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\in \mathbb{Z}$ αφού $-xy=xy\cdot (-1)$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Δεν βλέπω γιατί $2xy(xy-1)\in \mathbb{Z}\implies xy\in \mathbb{Z}$ .

Νομίζω χρειάζεται απόδειξη.

(Προσθήκη: Για παράδειγμα: η εξίσωση δεν έχει λύση ακέραιο.)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Η αλήθεια είναι ότι μου φάνηκε πολύ προφανές,αλλά εσείς ξέρετε καλύτερα

2nisis · #85

achilleas έγραψε: Σάβ Ιαν 20, 2018 12:07 pm ΘΕΜΑ 2/Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Το γινόμενο όλων των δοθέντων αριθμών είναι $2^{18}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ .

Ο αριθμός 14 πρέπει να αφαιρεθεί οπωσδήποτε, διότι το 7 εμφανίζεται μόνο στην ανάλυση του 14. Το νέο γινόμενο θα είναι $2^{17}\cdot 3^4\cdot 5^2$ . Έτσι, θα πρέπει να αφαιρέσουμε άλλο ένα στοιχείο στο οποίο το 2 εμφανίζεται σε περιττό εκθέτη.

Αφαιρώντας, τον αριθμό 2 παίρνουμε γινόμενο

$\displaystyle{4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 16\cdot 18\cdot 20=2^{16}\cdot 3^4\cdot 5^2=(2^8\cdot 3^2\cdot 5)^2,}$

δηλ. τέλειο τετράγωνο.

Συνεπώς, ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που μπορούμε να αφαιρέσουμε είναι 2.

Και η ΕΜΕ στα δύο στοιχεία καταλήγει αγνοώντας την περίπτωση αυτά να είναι το 14 και το 18.

#86

Διαγράφηκαν επαναλαμβανόμενα αχρείαστα μηνύματα σχετικά με την ημερομηνία ανακοίνωσης των αποτελεσμάτων του Διαγωνισμού "Ευκλείδης". Παρακαλούμε τα μέλη μας (ιδίως τα νεότερα) να κάνουν υπομονή.

Τσιαλας Νικολαος · #87

Τα αποτελέσματα βγήκαν. Έχουν αποσταλεί στα παραρτήματα. Μέχρι αύριο θα έχουν ανέβει και στην σελίδα της Ε.Μ.Ε. Συγχαρητήρια στους επιτυχόντες!!!

nikos_el · #88

Έχουν αναρτηθεί.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #89

Συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες του Ευκλείδη 2017 - 2018! Καλή επιτυχία στον Αρχιμήδη!

Να αναφέρω ότι οι επιτυχόντες ήταν σχετικά με άλλες χρονιές λίγοι! Ο ανταγωνισμός στην 3η φάση φαντάζομαι θα αυξηθεί! Καλή συνέχεια σε όλους!

#90

Συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες μαθητές για την επιτυχία τους και καλή συνέχεια στην επόμενη τρίτη φάση των φετινών διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας!

Επίσης συγχαρητήρια αξίζουν σε όλους τους συμμετέχοντες και ιδιαίτερα σ' εκείνους που ναι μεν δε διακρίθηκαν αλλά που προσπάθησαν, έλυσαν κάποια θέματα και κατάλαβαν ότι βρίσκονται μία ανάσα από τη διάκριση ή που κατάλαβαν ότι με λίγη παραπάνω προσπάθεια θα μπορούσαν να τα πάνε καλύτερα... Τότε είναι σίγουρο ότι έχουν βαθιά γνώση μαθηματικών και σίγουρα μπορούν να τα καταφέρουν σε αυτά! Εξάλλου στους μαθηματικούς διαγωνισμούς όπου σημασία παίζει - μεταξύ άλλων - και η ταχύτητα επίλυσης ενός προβλήματος, δεν αναδεικνύεται πάντα το ταλέντο ενός μαθητή αν ο τελευταίος δε μπορεί να εργαστεί υπό την πίεση του χρόνου! Σε αυτούς συμπεριλαμβάνω και τον εαυτό μου!

Κάτι τελευταίο ως παράκληση:

Δεδομένου ότι οι βάσεις καθώς και τα αποτελέσματα τυχόν αναβαθμολογήσεων ΔΕΝ ανακοινώνονται, καλό θα είναι να μη φορτώνουμε το mathematica.gr με μηνύματα που δεν είναι σχετικά με τα θέματα του διαγωνισμού (δηλαδή με το καθαρά μαθηματικό μέρος αυτού). Τονίζουμε ότι ο,τιδήποτε έχει να κάνει με τις βάσεις του διαγωνισμού είναι απλές φήμες καθώς τα γραπτά του διαγωνισμού από όλη την Ελλάδα διορθώνονται εκ νέου στα κεντρικά της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για σύγκλιση της βαθμολόγησης. Έτσι, ένας μαθητής που δεν έχει ολοκληρώσει ένα θέμα (ή που δεν είναι 100% σίγουρος για την ορθότητά του) δε μπορεί να γνωρίζει την ακριβή του βαθμολογία.

Αλέξανδρος

christodoulos703 · #91

Επειδή η επίσημη ιστοσελίδα της ΕΜΕ είναι πεσμένη βρήκα τα αποτελέσματα στο Διαδίκτυο σε μορφή αρχείου στον ακόλουθο σύνδεσμο.
http://lisari.blogspot.gr/2018/02/2018.html?m=1

Καλη επιτυχία σε ολους! Συγχαρητήρια σε ολους! Ο νικητής ειτε νικά ειτε νικιέται είναι παντα νικητής! Εύχομαι καλη φώτιση για τον Αρχιμήδη!

#92

Συγχαρητήρια σε όλους και καλή συνέχεια!
Θα βρίσκομαι το Σάββατο στην Αθήνα στα μέρη του διαγωνισμού, με χαρά να τα πούμε από κοντά με τους καλούς μου φίλους και συναδέλφους!

#93

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες και Καλή Συνέχεια στους επιτυχόντες!

kimjonarfib · #94

Εύχομαι επιτυχία σε όλους τους διακριθέντες και στην τρίτη φάση.

#95

Συγχαρητήρια στους επιτυχόντες. Καλή συνέχεια

Eleftheria · #96

Καλή επιτυχία σε όλους τους διακριθέντες. Μήπως μπορούμε να έχουμε μια εκτίμηση που θα κυμανθούν τα βραβεία στο νομό της Αττικής.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #97

melasjumper έγραψε: Σάβ Ιαν 20, 2018 1:30 pm ΘΕΜΑ 2 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θα αποδείξουμε κατι περισσότερο.Εστω
$g(x)=a_1\cos(r_1x+b_1)+\cdots+a_n\cos(r_nx+b_n)$
Αν τα είναι ανα δύο διαφορετικα και η ειναι περιοδική με περίοδο Τ τοτε ολοι οι οροι $\cos(r_ix+b_i)$
ειναι περιοδικοι με περιοδο Τ.

Παραγωγίζουμε την φορες για k=0,1,2,...,n-1.Αυτοι οι παραγωγοι ειναι περιοδικοι με περιοδο Τ.
Aυτο που βγαινει ειναι $g^{(2k)}(x)=a_1r^{2k}_1\cos(r_1x+b_1)+\cdots+a_nr^{2k}_n\cos(r_nx+b_n)$ χωρις τα προσημα.Καθε γραμμικος
συνδυασμος αυτων ειναι περιοδικος με περιοδο Τ.Θελουμε για να φτιαξουμε τους ορους $\cos(r_ix+b_i)$ ετσι ,να ειναι η οριζουσα
Vandermonde διαφορη του 0.Ομως αυτο ισουται με $a_1a_2...a_n\prod_{i\not=j}\ (r^2_i-r^2_j)$ το οποιο οντως ειναι διαφορο του 0.
Απο εδω η λυση ειναι προφανης.

Να σημειώσω το εξής
Μια παράσταση της μορφής
$g(x)=a_1\cos(r_1x+b_1)+\cdots+a_n\cos(r_nx+b_n)$
μπορεί να μετασχηματισθεί έτσι ώστε
1)Τα r_i>0

2)Τα

να είναι διαφορετικά ανά δύο.
Αυτό συμβαίνει γιατί
$\cos(r_ix+b_i)=\cos((-r_i)x-b_i)$
και
$c_1\cos(rx+b)+c_2\cos(rx+d)=C_1\cos rx+C_2\sin rx=A\cos (rx+k)$

Επίσης δεν μας ενδιαφέρει αν υπάρχουν και όροι της μορφής
$a_i\sin (r_ix+b_i)$
αφού
$\sin (r_ix+b_i)=\cos (r_ix+b_i-\frac{\pi }{2})$

Με αυτές τις παρατηρήσεις έχουμε απόδειξη των θεωρημάτων που έβαλε
ο Μπάμπης στο

viewtopic.php?f=56&t=3911&p=21600&hilit ... %2A#p21600

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Μέλη σε σύνδεση