Από σταθερό σημείο

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 1357 φορές

Η

είναι σταθερή χορδή κύκλου (O)

, ενώ το σημείο

κινείται εκτός του κύκλου

αλλά έτσι ώστε οι SA , SB

να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία D , C

αντίστοιχα .

Ονομάζουμε

την τομή των AC , BD

και

την τομή των ST , AB

.

Δείξτε ότι ο κύκλος ( C , D , P )

διέρχεται από σταθερό σημείο .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 1:03 pm Από σταθερό σημείο.pngΗ είναι σταθερή χορδή κύκλου , ενώ το σημείο κινείται εκτός του κύκλου
αλλά έτσι ώστε οι να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .
Ονομάζουμε την τομή των και την τομή των .
Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Όμορφο πρόβλημα.
Ας δούμε την διαπραγμάτευση που ακολουθεί.

Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των αρμονικών συζυγών των A,B

που είναι τα Q,B,

εδώ στην περίπτωση μας με βάση το πλήρες τετράπλευρο
SDTC

και που λέει ότι: $\displaystyle{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = MP \cdot MQ,}$ αν

είναι το μέσον του AB.

Πράγματι παίρνουμε: $QP = QM - MP \Rightarrow QP \cdot QM = Q{M^2} - MP \cdot MQ \Rightarrow$ $QP \cdot QM = Q{M^2} - {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} \Rightarrow QP \cdot QM = \left( {QM - \frac{{AB}}{2}} \right)\left( {QM + \frac{{AB}}{2}} \right) \Rightarrow$ $QM \cdot QP = QA \cdot QB = QD \cdot QC,$
άρα ο κύκλος περνά από το μέσο

του

που είναι σταθερό.

: κκ.png (96.65 KiB) Προβλήθηκε 1334 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 1:03 pm Από σταθερό σημείο.pngΗ είναι σταθερή χορδή κύκλου , ενώ το σημείο κινείται εκτός του κύκλου

αλλά έτσι ώστε οι να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .

Ονομάζουμε την τομή των και την τομή των .

Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Ας είναι

το σημείο τομής των

και

.Φέρνω την κάθετη στο σημείο

επί την

και τέμνει το ημικύκλιο, κέντρου

και διαμέτρου

, στο

.

: Απο σταθερό σημείο_b.png (36.08 KiB) Προβλήθηκε 1282 φορές

Η πολική του

ως προς τον αρχικό κύκλο είναι η

και έτσι η τετράδα :

$\left( {J,P\backslash A,B} \right)$ είναι αρμονική με άμεσες συνέπειες :

Το JF = m

είναι εφαπτόμενο τμήμα του ημικυκλίου και από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle BMG$ θα έχω ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} {m^2} = JA \cdot JB\left( { = JD \cdot JC} \right) \hfill \\ {m^2} = JP \cdot JM \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Δηλαδή το τετράπλευρο PMCD

είναι εγγράψιμο, αφού και λόγω της δύναμης του

ως προς τον κύκλο , ισχύει: $JP \cdot JM = JA \cdot JB = JD \cdot JC$

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 1:03 pm Από σταθερό σημείο.pngΗ είναι σταθερή χορδή κύκλου , ενώ το σημείο κινείται εκτός του κύκλου

αλλά έτσι ώστε οι να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .

Ονομάζουμε την τομή των και την τομή των .

Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Έστω πάλι

η τομή των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ και

το σημείο τομής της προέκτασης της

με τον κύκλο .

Ως γνωστό το

είναι εφαπτόμενο τμήμα στο κύκλο ( κατασκευή εφαπτομένης κύκλου από εξωτερικό σημείο , χωρίς περαιτέρω χρήση του διαβήτη)

Ας είναι JG = k

. Επειδή τα σημεία A,B

είναι αρμονικά συζυγή ως προς τα J,P

: Απο σταθερό σημείο_a.png (41.7 KiB) Προβλήθηκε 1267 φορές

αν αντιστρέψω τον κύκλο $\left( {D,J,P} \right)$ με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής

${k^2} = JA \cdot JB$ θα προκύψει ευθεία

που θα διέρχεται από το

και από το μέσο

του

.

Δηλαδή το ομόλογο του

σ αυτή την αντιστροφή είναι το

και άρα του τετράπλευρο PMCD

είναι εγγράψιμο.

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 1:03 pm Από σταθερό σημείο.pngΗ είναι σταθερή χορδή κύκλου , ενώ το σημείο κινείται εκτός του κύκλου

αλλά έτσι ώστε οι να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .

Ονομάζουμε την τομή των και την τομή των .

Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Μόνο για λόγους πλουραλισμού και για να δούμε την επίμαχη εγγραψιμότητα και γωνιακά (πάντα βέβαια με τη βοήθεια της αρμονικότητας) αλλά και για την παρέα των έξοχων συναδέλφων

: από σταθερό σημείο.png (31.82 KiB) Προβλήθηκε 1227 φορές

Έστω $\displaystyle{L}$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου $\displaystyle{\left( O \right)}$ στα $\displaystyle{A,B}$ .
Από το Θεώρημα του Pascal για το εκφυλισμένο (σε τετράπλευρο) εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό εξάγωνο $\displaystyle{AADBBC}$ προκύπτει ότι τα σημείο $\displaystyle{L \equiv AA \cap BB,S \equiv AD \cap BC,T \equiv BD \cap CA}$ είναι συνευθειακά .
Από το πλήρες τετράπλευρο $\displaystyle{ADCBKS}$ προκύπτει ότι η σειρά $\displaystyle{\left( {K,A,P,B} \right)}$ είναι αρμονική και συνεπώς και η δέσμη $\displaystyle{D.KAPB}$ είναι αρμονική , με $\displaystyle{P \equiv AB \cap LS}$ .
Από το αρμονικό τετράπλευρο $\displaystyle{AEBC,E \equiv CL \cap \left( O \right),E \ne C}$ προκύπτει ότι η δέσμη $\displaystyle{D.AEBC \equiv D.AEBK}$ είναι αρμονική και από την ταύτιση των τριών ακτινών των δεσμών $\displaystyle{D.AEBK,D.APBK}$ προκύπτει ότι θα ταυτίζονται και οι τέταρτες ακτίνες τους δηλαδή $\displaystyle{D,P,E}$ συνευθειακά
Εξάλλου $\displaystyle{CE}$ είναι η ευθεία της $\displaystyle{C - }$ συμμετροδιαμέσου του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle ACB}$ και συνεπώς $\displaystyle{\tau o\xi .BFE = \tau o\xi .FEA}$ , όπου $\displaystyle{F}$ το σημείο τομής της διαμέσου $\displaystyle{CM}$ του $\displaystyle{\vartriangle ACB}$ με τον $\displaystyle{\left( O \right)}$ .
Έτσι $\displaystyle{\angle DPA = \dfrac{{\tau o\xi .AD + \tau o\xi .BFE}}{2} = \dfrac{{\tau o\xi .AD + \tau o\xi .FEA}}{2} = \angle DCF \equiv \angle DCM}$ και συνεπώς το τετράπλευρο $\displaystyle{BDCM}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε ο περίκυκλος του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle DPC}$ διέρχεται από το σταθερό μέσο $\displaystyle{M}$ της σταθερής $\displaystyle{AB}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί

Από το μακρινό Βέλγιο που φλέγεται από τον κορονοϊό με περισσότερα από 21.000 κρούσματα μόνον εχθές !!

Στάθης

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #6

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2020 1:03 pm Από σταθερό σημείο.pngΗ είναι σταθερή χορδή κύκλου , ενώ το σημείο κινείται εκτός του κύκλου

αλλά έτσι ώστε οι να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία αντίστοιχα .

Ονομάζουμε την τομή των και την τομή των .

Δείξτε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό σημείο .

Κάτι παρόμοιο
Έστω

η τομή της

με την

. Είναι γνωστό ότι (X,P, D,C)=-1

, οπότε αν

το μέσο της

η σχέση

δίνει

και το ζητούμενο έπεται.

Από σταθερό σημείο

Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση