Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

#1

Σε ένα τρίγωνο οι γωνίες του (σε μοίρες) είναι τρεις διαφορετικοί μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει το άθροισμα της μικρότερης και της μεγαλύτερης γωνίας του;

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για μαθητές Γυμνασίου. Δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη αλλά πρέπει πρώτα να ξεκαθαρίσει κανείς τι ακριβώς ζητάει η άσκηση.)

aggeliki260807 · #2

Λοιπόν, η απάντηση είναι 91 διότι θεώρησα $\psi > \chi > \phi$
μετά για να ισχύει $\psi +\varphi =$ το μικρότερο άθροισμα πρέπει $\psi \geqslant 90$
αρα το $\varphi$ το μικρότερο θα είναι $1^{\circ}$

#3

Μπράβο, η απάντηση είναι σωτή, όμως αυτό το βήμα:
.

aggeliki260807 έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2020 3:30 pm μετά για να ισχύει $\psi +\varphi =$ το μικρότερο άθροισμα πρέπει $\psi \geqslant 90$

.
δεν το βλέπω. Μπορείς να εξηγήσεις αναλυτικότερα;

Για παράδειγμα, πώς θα το εξηγούσες σε έναν συμμαθητή σου που δεν έλυσε την άσκσηση;

Αν χρειαστεί (αλλά όχι τώρα για να αφήσουμε χρόνο σε όλους) θα δώσω πλήρη απάντηση.

Manolis Petrakis · #4

Έστω $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ με $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ .
Τότε $\widehat{A}+\widehat{C}=min\Leftrightarrow \widehat{B}=max$
•Αν $\widehat{B}\geq 90^{\circ}$ τότε $\widehat{A}+\widehat{B}>180^{\circ}$ αδύνατο
•Αν $\widehat{B}=89^{\circ}$ τότε $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{A}+\widehat{C}=91^{\circ}$
Με $\widehat{A}=90^{\circ}$ , $\widehat{C}=1^{\circ}$ και $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ .

#5

Manolis Petrakis έγραψε: Τετ Οκτ 28, 2020 10:17 pm Έστω $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ με $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ .
Τότε $\widehat{A}+\widehat{C}=min\Leftrightarrow \widehat{B}=max$
•Αν $\widehat{B}\geq 90^{\circ}$ τότε $\widehat{A}+\widehat{B}>180^{\circ}$ αδύνατο
•Αν $\widehat{B}=89^{\circ}$ τότε $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{A}+\widehat{C}=91^{\circ}$
Με $\widehat{A}=90^{\circ}$ , $\widehat{C}=1^{\circ}$ και $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$ .

Σωστά.

Ας το δούμε με λίγο πιο απλά λόγια, κατά τα άλλα είναι η ίδια λύση: Αν A>B>C

τότε $B \le 89^{\circ}$ γιατί ένα τρίγωνο μπορεί να έχει μόνο μία γωνία $\ge 90^{\circ}$ . Άρα $A+C=180^{\circ}-B \ge 180^{\circ}-89^{\circ} =91^{\circ}$ . Αφού την τιμή $91^{\circ}$ μπορούμε να την πιάσουμε με $A=90^{\circ}, B=89^{\circ}, C=1^{\circ}$ , η ζητούμενη ελάχιστη τιμή είναι $91^{\circ}$ .

Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

Re: Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

Re: Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

Re: Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

Re: Το μικρότερο δυνατό άθροισμα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση