Κατασκευή τέμνουσας

#1

: Ισότητα εμβαδών_εκφώνηση.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Ορθογώνιο τρίγωνο ABC

διατηρεί σταθερή την υποτείνουσα

ενώ

.

Η κάθετη στο μέσο

της

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

.

Να φέρετε ευθεία δια του

κάθετη στην

, τέμνουσα την πλευρά

στο

σημείο

, την προέκταση της

στο σημείο

και να είναι : $\left( {AED} \right) = \left( {ESB} \right)$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 02, 2020 12:59 pm
Ισότητα εμβαδών_εκφώνηση.png

Ορθογώνιο τρίγωνο διατηρεί σταθερή την υποτείνουσα ενώ .

Η κάθετη στο μέσο της τέμνει την πλευρά στο σημείο .

Να φέρετε ευθεία δια του κάθετη στην , τέμνουσα την πλευρά στο

σημείο , την προέκταση της στο σημείο και να είναι : $\left( {AED} \right) = \left( {ESB} \right)$ .

Στην ουσία αυτό που ζητείται είναι να κατασκευαστεί το ορθογώνιο τρίγωνο ABC.

Επειδή όμως η BC=a

είναι

σταθερή, αρκεί να υπολογιστεί η AC=b.

Θέτω

: Κατ. τέμνουσας.png (13.39 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Τα

είναι όμοια, $\displaystyle \frac{{OD}}{c} = \frac{a}{{2b}} = \frac{{DC}}{a} \Rightarrow$ $\boxed{OD = \frac{{ac}}{{2b}}}$ , $\boxed{DC = \frac{{{a^2}}}{{2b}}}$ , $\boxed{DA = \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2b}}}$

Προφανώς, $\displaystyle (ABC) = (DSC) \Leftrightarrow \frac{{bc}}{2} = \frac{{a + x}}{2} \cdot OD = \frac{{a + x}}{2} \cdot \frac{{ac}}{{2b}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{a}}$

$\displaystyle A\widehat ED = O\widehat AC = O\widehat CA,$ άρα BEDC

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle \frac{{DE}}{a} = \frac{{AD}}{c} \Leftrightarrow DE = \frac{{a(2{b^2} - {a^2})}}{{2bc}}$ και

$\displaystyle bAD = cAE \Leftrightarrow AE = \frac{b}{c} \cdot \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \Leftrightarrow AE = \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2c}}$ και $\displaystyle EB = \frac{{2{c^2} - 2{b^2} + {a^2}}}{{2c}} = \frac{{3{a^2} - 4{b^2}}}{{2c}}$

Τέλος επειδή τα τρίγωνα AED, ESB

έχουν μία γωνία παραπληρωματική, θα είναι $\displaystyle xEB = AD \cdot DE$

και με αντικατάσταση καταλήγουμε στη εξίσωση 8b^4-4a^2b^2-a^4=0,

απ' όπου $\boxed{ b = \frac{a}{2}\sqrt {\sqrt 3 + 1}}$

Κατασκευή τέμνουσας

Κατασκευή τέμνουσας

Re: Κατασκευή τέμνουσας

Μέλη σε σύνδεση