Ελάχιστη περίμετρος

KARKAR · #1

: Ελάχιστη περίμετρος.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 1477 φορές

Ευθεία διερχόμενη από το σημείο S(4,2)

τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία A , B

αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου AOB

. Ίσως έχει ξανατεθεί , παρακαλώ όχι παραπομπές !

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:19 pm Ευθεία διερχόμενη από το σημείο τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου . Ίσως έχει ξανατεθεί , παρακαλώ όχι παραπομπές !

Μία άποψη.

ΑΝΑΛΥΣΗ:
Αν θεωρήσουμε τον παραγγεγραμμένο κύκλο του ορθογωνίου τριγώνου, και θεωρήσουμε

το σημείο επαφής του με τον άξονα Ox,

τότε, το διπλάσιο του

παριστάνει την περίμετρο. Άρα θέλουμε το ελάχιστο OM,

δηλαδή θέλουμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο (που έχει το κέντρο του στην διχοτόμο της δοθείσας ορθής γωνίας) που διέρχεται από το σημείο

Αυτός γεωμετρικά έχει κατασκευαστεί από τον Απολλώνιο (κύκλος διερχόμενος από σημείο και εφαπτόμενος δύο τεμνόμενων σε ένα σημείο ευθειών). Για τον προσδιορισμό της πλευράς (κατά θέση και μέγεθος) αρκεί να κατασκευάσουμε την εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο

Τώρα που ξέρουμε ποιος είναι μπορούμε με βάση το γεωμετρικό δεδομένο που διαπιστώσαμε να υπολογίσουμε και τα στοιχεία του, άρα και την ζητούμενη περίμετρο που είναι 2OT.

.

: κατ..png (49.53 KiB) Προβλήθηκε 1427 φορές

(*) Θα μπορούσαμε να αναφερθούμε και σε τυχούσα κυρτή γωνία.

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:19 pm Ελάχιστη περίμετρος.pngΕυθεία διερχόμενη από το σημείο τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία αντίστοιχα .

Βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου . Ίσως έχει ξανατεθεί , παρακαλώ όχι παραπομπές !

Αν

η ευθεία

έχει εξίσωση $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ κι επειδή διέρχεται από

το σημείο S(4,2)

θα είναι $\boxed{b = \frac{{2a}}{{a - 4}}}$ (1)

Η περίμετρος του τριγώνου AOB

είναι:

: Ελάχιστη περίμετρος.Κ.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 1400 φορές

$\displaystyle P = a + b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} P(a) = \frac{{{a^2} - 2a + a\sqrt {{a^2} - 8a + 20} }}{{a - 4}}$

Με παραγώγους τώρα, βρίσκω ότι για $\boxed{a = \frac{{20}}{3}}$ η περίμετρος παίρνει την ελάχιστη τιμή $\boxed{{P_{\min }} = 20}$

Για μεγαλύτερη ευκολία στην κατασκευή, $\boxed{b=5=BS}$ (Η μεσοκάθετη του

τέμνει τον

στο

).

#4

Kαλησπέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά από τους αγαπητούς φίλους, Σωτήρη και Γιώργο.

: 15-11-2020 Γεωμετρία.png (19.35 KiB) Προβλήθηκε 1378 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} = \varphi ,\;\;0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ , οπότε

$\displaystyle {\rm O}{\rm A} = 4 + 2\sigma \varphi \varphi ,\;\;\;{\rm O}{\rm B} = 2 + 4\varepsilon \varphi \varphi ,\;\;SA = \frac{2}{{\eta \mu \varphi }},\;\;SB = \frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$

Η περίμετρος δίνεται από τη συνάρτηση $\displaystyle P\left( \varphi \right) = 4 + 2\sigma \varphi \varphi + 2 + 4\varepsilon \varphi \varphi + \frac{2}{{\eta \mu \varphi }} + \frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$

$\displaystyle = 6 + \frac{{2\sigma \upsilon \nu \varphi + 2}}{{\eta \mu \varphi }} + \frac{{4\eta \mu \varphi + 4}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }}$ με $\displaystyle \varphi \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ .

Είναι
$\displaystyle P'\left( \varphi \right) = \frac{{ - 2 - 2\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{\eta {\mu ^2}\varphi }} + \frac{{4 + 4\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi }} =$

$\displaystyle = \frac{{ - 2}}{{1 - \sigma \upsilon \nu \varphi }} + \frac{4}{{1 - \eta \mu \varphi }} = \frac{{2\eta \mu \varphi - 4\sigma \upsilon \nu \varphi + 2}}{{\left( {1 - \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)\left( {1 - \eta \mu \varphi } \right)}}$

$\displaystyle P'\left( \varphi \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \varphi = \eta \mu \varphi + 1$

$\displaystyle \Leftrightarrow 4 - 4\eta {\mu ^2}\varphi = \eta {\mu ^2}\varphi + 2\eta \mu \varphi + 1$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5\eta {\mu ^2}\varphi + 2\eta \mu \varphi - 3 = 0 \Leftrightarrow \eta \mu \varphi = \frac{3}{5}$

Επίσης $\displaystyle P'\left( \varphi \right) > 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \varphi < \eta \mu \varphi + 1\; \Leftrightarrow ...\; \Leftrightarrow 1 > \eta \mu \varphi > \frac{3}{5}$

και $\displaystyle P'\left( \varphi \right) < 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \varphi > \eta \mu \varphi + 1\; \Leftrightarrow ...\; \Leftrightarrow 0 < \eta \mu \varphi < \frac{3}{5}$ , οπότε στο σημείο αυτό έχει ελάχιστο.

Τότε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{4}{5} \wedge \;\sigma \varphi \varphi = \frac{4}{3}$ , άρα $\displaystyle {\rm O}{\rm A} = 4 + \frac{8}{3} = \frac{{20}}{3}$ κ.ο.κ.

Άρα $\displaystyle {\rm A}\left( {\frac{{20}}{3},0} \right),\;\;{\rm B}\left( {0,\;5} \right)$ με ελάχιστη περίμετρο

.

KARKAR · #5

: Ελάχιστη περίμετρος λύση.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 1371 φορές

Η λύση του Σωτήρη , με αποτέλεσμα : Είναι : KS=KT

, δηλαδή : (x-4)^2+(x-2)^2=x^2

με δεκτό αποτέλεσμα το : x=10

. Επειδή τώρα : $\lambda_{SK}=\dfrac{4}{3}$ είναι : $\lambda_{AB}=-\dfrac{3}{4}$ , συνεπώς :

$OA=\dfrac{20}{3} , OB=5 , L= 20$ .

#6

Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης, θέτω το αντίστοιχο ερώτημα για το ελάχιστο εμβαδόν.

Ευθεία διερχόμενη από το σημείο S(4,2)

τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία A , B

αντίστοιχα.

Βρείτε τo ελάχιστo εμβαδόν του τριγώνου AOB

.

(Δεν είχα δει ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ την εκφώνηση (δάσκαλε που δίδασκες...) και υπολόγισα πρώτα αυτό. Μετά είδα τις αναρτήσεις των φίλων και άλλαξα γραμμή πλεύσης...)

: Ελάχιστo εμβαδόν.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 1362 φορές

Aς προηγηθούν οι μαθητές μας ως την 18η του μηνός.

Manolis Petrakis · #7

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 7:49 pm Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης, θέτω το αντίστοιχο ερώτημα για το ελάχιστο εμβαδόν.

Ευθεία διερχόμενη από το σημείο τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία αντίστοιχα.

Βρείτε τo ελάχιστo εμβαδόν του τριγώνου .

(Δεν είχα δει ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ την εκφώνηση (δάσκαλε που δίδασκες...) και υπολόγισα πρώτα αυτό. Μετά είδα τις αναρτήσεις των φίλων και άλλαξα γραμμή πλεύσης...)

Όπως ο κύριος Βισβίκης βρίσκω ότι:

george visvikis έγραψε: Κυρ Νοέμ 15, 2020 6:05 pm Αν η ευθεία έχει εξίσωση $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ κι επειδή διέρχεται από το σημείο θα είναι $\boxed{b = \frac{{2a}}{{a - 4}}}$

Έτσι $(AOB)=a\cdot \frac{2a}{a-4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a^2}{a-4}$
Έτσι $\frac{a^2}{a-4}\geq k\Leftrightarrow a^2-ak+4k\geq 0$ με $\Delta=k^2-16k\geq 0$ και $k>0\Rightarrow k\geq 16$
$\Rightarrow (AOB)=\frac{a^2}{a-4}\geq 16$ (το

για

)

S.E.Louridas · #8

Καλημέρα.
Αν μου επιτρέπουν ο Γιώργος και ο Θανάσης και λόγω του φακέλου ας προτείνω και την γενίκευση:

"Έστω κυρτή γωνία $\angle xOy$ και σημείο εντός αυτής. Προσδιορίστε ευθεία που να τέμνει την πλευρά στο σημείο και την πλευρά στο σημείο ώστε το εμβαδόν να είναι το ελάχιστο".

#9

S.E.Louridas έγραψε: Δευ Νοέμ 16, 2020 8:49 am Καλημέρα.
Αν μου επιτρέπουν ο Γιώργος και ο Θανάσης και λόγω του φακέλου ας προτείνω και την γενίκευση:

"Έστω κυρτή γωνία $\angle xOy$ και σημείο εντός αυτής. Προσδιορίστε ευθεία που να τέμνει την πλευρά στο σημείο και την πλευρά στο σημείο ώστε το εμβαδόν να είναι το ελάχιστο".

Καλημέρα Σωτήρη, Καλημέρα σε όλους!

Προς το παρόν δίνω μόνο την κατασκευή. Στην ουσία αυτό που ζητάω είναι το

να καταστεί μέσον του AB.

: Ελ.Εμβ..png (7.02 KiB) Προβλήθηκε 1296 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

και

το συμμετρικό του

ως προς

Από το

φέρνω παράλληλη

στην

που τέμνει την

στο

Η

τέμνει την

στο

Η

είναι η ζητούμενη ευθεία.

#10

S.E.Louridas έγραψε: Δευ Νοέμ 16, 2020 8:49 am Καλημέρα.
Αν μου επιτρέπουν ο Γιώργος και ο Θανάσης και λόγω του φακέλου ας προτείνω και την γενίκευση:

"Έστω κυρτή γωνία $\angle xOy$ και σημείο εντός αυτής. Προσδιορίστε ευθεία που να τέμνει την πλευρά στο σημείο και την πλευρά στο σημείο ώστε το εμβαδόν να είναι το ελάχιστο".

Καλημέρα

Θέμα νομίζω του λεγόμενου " Ακαδημαϊκού απολυτηρίου" 1965-66

. Δεν το θεωρώ εύκολο. Υπάρχουν διάφορες λύσεις σε αρκετά βιβλία Γεωμετρίας .

Τότε για να εισαχθεί κάποιος σε σχολή θετικής κατεύθυνσης έπρεπε να δώσει : Άλγεβρα , Γεωμετρία, Τριγωνομετρία , Έκθεση , Φυσική , Χημεία.

Υπήρχαν δυο διορθωτές . Το άριστα αντιστοιχούσε σε 240

μονάδες .

Τα χρόνια εκείνα από 80.000

υποψηφίους για Πανεπιστήμια, Τεχνολογικές σχολές και Στρατιωτικές σχολές, μπαίνανε γύρω στις 8000

συνολικά.

Με βάση εισαγωγής το

KARKAR · #11

Νομίζω ότι είναι το δημοφιλέστερο θέμα του forum . Ξεκινήστε , ας πούμε , από εδώ ή από εκεί .

Συνεχίστε εδώ

Ελάχιστη περίμετρος

Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση