Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

#1

Από putnam :

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\tan^{-1}\pi x-\tan^{-1}x}{x}\,dx}$ .

(Σε περίπτωση που κάποιος το λύσει) υπάρχει κανένα βιβλίο που να έχει μαζεμένα παραδείγματα με ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αυτές τις μεθόδους;

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Από putnam :

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\tan^{-1}\pi x-\tan^{-1}x}{x}\,dx}$ .

(Σε περίπτωση που κάποιος το λύσει) υπάρχει κανένα βιβλίο που να έχει μαζεμένα παραδείγματα με ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αυτές τις μεθόδους;

Δίνω μια λύση γιατί μάλλον ξεχάστηκε.

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\tan^{-1}\pi x-\tan^{-1}x}{x}\,dx=\int_{0}^{+\infty}\Big(\frac{1}{x}\int_{x}^{\pi x}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy\Big)\,dx=}$

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\Big(\int_{1}^{\pi}\frac{1}{1+(ux)^{2}}\,du\Big)\,dx\stackrel{Fubini}{=}\int_{1}^{\pi}\Big(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+(ux)^{2}}\,dx\Big)\,du}\stackrel{ux=t}{=}\int_{1}^{\pi}\frac{1}{u}\Big(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt\Big)\,du=$

$\displaystyle{\int_{1}^{\pi}\frac{\pi}{2}\frac{1}{u}\,du=\frac{\pi}{2}\ln\pi}$ .

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:(Σε περίπτωση που κάποιος το λύσει) υπάρχει κανένα βιβλίο που να έχει μαζεμένα παραδείγματα με ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αυτές τις μεθόδους;

Λοιπόν Αναστάση, όχι. Δεν έχω υπόψιν κάποιο τέθοιο βιβλίο..Θα το κοιτάξω όμως και θα σου πω....

Broly · #4

Από ποια χρονιά του Putnam είναι αυτό το πρόβλημα?
Πρέπει να είναι σχετικά παλιό γιατί δεν το έχει πάρει πουθενά το μάτι μου.

#5

Broly έγραψε:Από ποια χρονιά του Putnam είναι αυτό το πρόβλημα?
Πρέπει να είναι σχετικά παλιό γιατί δεν το έχει πάρει πουθενά το μάτι μου.

Είναι το Α3 του 1982..

Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση